题目

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现有 $ 10 $ 道题，其中 $ 6 $ 道甲类题，$ 4 $ 道乙类题，张同学从中任取 $ 3 $ 道题解答．

【难度】

【出处】

2013年高考辽宁卷（理）

【标注】

知识点
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计数与概率
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随机事件的概率
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古典概型
知识点
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计数与概率
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离散型随机变量
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离散型随机变量的分布列
知识点
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计数与概率
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离散型随机变量
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离散型随机变量的数字特征

求张同学至少取到 $ 1 $ 道乙类题的概率；
标注
- 知识点
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  计数与概率
  >
  随机事件的概率
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  古典概型
答案

$\dfrac{5}{6}$

解析

本题考查古典概型，对于“至少问题”，可以尝试从事件的对立面考虑．设事件 $A = $ ＂张同学所取的 $ 3 $ 道题至少有 $ 1 $ 道乙类题＂，
则有 $\overline A = $ ＂张同学所取的 $ 3 $ 道题都是甲类题＂．
因为 $P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{{\mathrm{C}}_6^3}}{{{\mathrm{C}}_{10}^3}} = \dfrac{1}{6}$，
所以 $P\left(A\right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{5}{6}$．
已知所取的 $ 3 $ 道题中有 $ 2 $ 道甲类题，$ 1 $ 道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是 $\dfrac{3}{5}$，答对每道乙类题的概率都是 $\dfrac{4}{5}$，且各题答对与否相互独立．用 $X$ 表示张同学答对题的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望．
标注
- 知识点
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  计数与概率
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  离散型随机变量
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  离散型随机变量的分布列
- 知识点
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  计数与概率
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  离散型随机变量
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  离散型随机变量的数字特征
答案

$ X $ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
X&0&1&2&3\\ \hline
P&\dfrac{4}{125}&\dfrac{28}{125}&\dfrac{57}{125}&\dfrac{36}{125}\\ \hline
\end{array}\]期望\[\begin{split} {E}\left( X \right) &= 0 \times \dfrac{4}{125} + 1 \times \dfrac{28}{125} + 2 \times \dfrac{57}{125} + 3 \times \dfrac{36}{125} = 2.\end{split} \]

解析

本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望．按 $X$ 的每个取值进行分类求解各自概率即可，$X$ 所有的可能取值为 $ 0,1,2,3 $．\[\begin{split} P\left( {X = 0} \right) &= {\mathrm{C}}_2^0 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{125}, \\ P\left( {X = 1} \right) &= {\mathrm{C}}_2^1 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^1} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^1} \cdot \dfrac{1}{5} + {\mathrm{C}}_2^0{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{28}{125}, \\ P\left( {X = 2} \right) &= {\mathrm{C}}_2^2 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^0} \cdot \dfrac{1}{5} + {\mathrm{C}}_2^1{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^1} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^1} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{57}{125} ,\\ P\left( {X = 3} \right) &= {\mathrm{C}}_2^2 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^0} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{36}{125}.\end{split} \]（推导中用到：）所以 $ X $ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
X&0&1&2&3\\ \hline
P&\dfrac{4}{125}&\dfrac{28}{125}&\dfrac{57}{125}&\dfrac{36}{125}\\ \hline
\end{array}\]所以\[\begin{split} {E}\left( X \right) &= 0 \times \dfrac{4}{125} + 1 \times \dfrac{28}{125} + 2 \times \dfrac{57}{125} + 3 \times \dfrac{36}{125} = 2.\end{split} \]

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2

本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望．按 $X$ 的每个取值进行分类求解各自概率即可，$X$ 所有的可能取值为 $ 0,1,2,3 $．\[\begin{split} P\left( {X = 0} \right) &= {\mathrm{C}}_2^0 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{125}, \\ P\left( {X = 1} \right) &= {\mathrm{C}}_2^1 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^1} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^1} \cdot \dfrac{1}{5} + {\mathrm{C}}_2^0{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{28}{125}, \\ P\left( {X = 2} \right) &= {\mathrm{C}}_2^2 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^0} \cdot \dfrac{1}{5} + {\mathrm{C}}_2^1{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^1} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^1} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{57}{125} ,\\ P\left( {X = 3} \right) &= {\mathrm{C}}_2^2 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^0} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{36}{125}.\end{split} \]（推导中用到：）所以 $ X $ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline<br/>X&0&1&2&3\\ \hline<br/>P&\dfrac{4}{125}&\dfrac{28}{125}&\dfrac{57}{125}&\dfrac{36}{125}\\ \hline<br/>\end{array}\]所以\[\begin{split} {E}\left( X \right) &= 0 \times \dfrac{4}{125} + 1 \times \dfrac{28}{125} + 2 \times \dfrac{57}{125} + 3 \times \dfrac{36}{125} = 2.\end{split} \]