如图，$AB$ 为 $ \odot O$ 直径，直线 $CD$ 与 $ \odot O$ 相切于 $E$，$AD$ 垂直 $CD$ 于 $D$，$BC$ 垂直 $CD$ 于 $C$，$EF$ 垂直 $AB$ 于 $F$，连接 $AE,BE$．证明：
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
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$\angle FEB = \angle CEB$；标注答案略解析注意到 $\angle CEB$ 为 $\odot O$ 的弦切角，故只需证明 $\angle FEB=\angle EAB$ 即可．由直线 $CD$ 与 $ \odot O$ 相切，得 $\angle CEB = \angle EAB$．由 $AB$ 为 $ \odot O$ 的直径，得 $AE \perp EB$，从而\[\angle EAB + \angle EBF = \dfrac{\mathrm \pi} {2};\]又 $EF \perp AB$，得\[\angle FEB + \angle EBF = \dfrac{\mathrm \pi} {2}.\]从而 $\angle FEB = \angle EAB$．故\[\angle FEB = \angle CEB.\]
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$E{F^2} = AD \cdot BC$．标注答案略解析根据射影定理，可知 $EF^2=AF\cdot BF$，因此可以考虑证明 $AD=AF,BF=BC$．由 $BC \perp CE$，$EF \perp AB$，$\angle FEB = \angle CEB$，$BE$ 是公共边，得\[{\mathrm{Rt}}\triangle BCE \cong {\mathrm{Rt}}\triangle BFE,\]所以 $BC = BF$．类似可证 ${\mathrm{Rt}}\triangle ADE \cong {\mathrm{Rt}}\triangle AFE$，得\[AD = AF.\]又在 ${\mathrm{Rt}}\triangle AEB$ 中，$EF \perp AB$，故\[E{F^2} = AF \cdot BF,\]所以\[E{F^2} = AD \cdot BC.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
