在直角坐标系 $xOy$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 ${C_1}$，直线 ${C_2}$ 的极坐标方程分别为 $\rho = 4\sin \theta $，$ \rho \cos \left( {\theta - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = 2\sqrt 2 $．
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
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求 ${C_1}$ 与 ${C_2}$ 交点的极坐标；标注答案$\left( {4,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right),\left( {2\sqrt 2 ,\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$．解析将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点即可．圆 ${C_1}$ 的直角坐标方程为\[{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4,\]直线 ${C_2}$ 的直角坐标方程为\[x + y - 4 = 0.\]（推导中用到了）联立\[\begin{cases}
{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4 ,\\
x + y - 4 = 0 ,\\
\end{cases} \]得\[ \begin{cases}{x_1} = 0, \\
{y_1} = 4, \\
\end{cases} \begin{cases}{x_2} = 2, \\
{y_2} = 2. \\
\end{cases} \]所以 ${C_1}$ 与 ${C_2}$ 交点的极坐标为\[\left( {4,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right),\left( {2\sqrt 2 ,\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)\]注：极坐标系下点的表示不唯一． -
设 $P$ 为 ${C_1}$ 的圆心，$Q$ 为 ${C_1}$ 与 ${C_2}$ 交点连线的中点，已知直线 $PQ$ 的参数方程为 $ \begin{cases}
x = {t^3} + a \\
y = \dfrac{b}{2}{t^3} + 1 \\
\end{cases} $（$t \in {\mathbb{R}}$ 为参数），求 $a,b$ 的值．标注答案$a = - 1$，$b = 2$．解析消去参数求出直线 $PO$ 的直角坐标方程，再结合点 $P,Q$ 的坐标求出 $a,b$ 的值．由（1）可得，$P$ 点与 $Q$ 点的直角坐标分别为 $\left( {0,2} \right)$，$\left( {1,3} \right)$．
故直线 $PQ$ 的直角坐标方程为\[x - y + 2 = 0.\]由参数方程可得\[y = \dfrac{b}{2}x - \dfrac{ab}{2} + 1.\]所以\[ \begin{cases}
\dfrac{b}{2} = 1, \\
- \dfrac{ab}{2} + 1 = 2, \\
\end{cases} \]解得\[ \begin{cases}a = - 1, \\
b = 2. \\
\end{cases} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
