已知函数 $f\left( x \right) = \left| {x - a} \right|$，其中 $a > 1$．
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
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当 $a = 2$ 时，求不等式 $f\left( x \right) \geqslant 4 - \left| {x - 4} \right|$ 的解集；标注答案$\left\{ {x\left|\right.x \leqslant 1 或 x \geqslant 5} \right\}$解析取绝对值分段求解不等式的解集．当 $a = 2$ 时，$ f\left(x\right) + \left| {x - 4} \right| = {\begin{cases}
- 2x + 6,&x \leqslant 2, \\
2,&2 < x < 4, \\
2x - 6,&x \geqslant 4. \\
\end{cases}} $
当 $x \leqslant 2$ 时，由 $f\left( x \right) \geqslant 4 - \left| {x - 4} \right|$ 得\[- 2x + 6 \geqslant 4,\]解得\[x \leqslant 1;\]当 $2 < x < 4$ 时，$f\left( x \right) \geqslant 4 - \left| {x - 4} \right|$ 无解；
当 $x \geqslant 4$ 时，由 $f\left( x \right) \geqslant 4 - \left| {x - 4} \right|$ 得\[2x - 6 \geqslant 4,\]解得\[x \geqslant 5.\]所以 $f\left( x \right) \geqslant 4 - \left| {x - 4} \right|$ 的解集为\[\left\{ {x\left|\right.x \leqslant 1 或 x \geqslant 5} \right\}.\] -
已知关于 $x$ 的不等式 $\left| {f\left( {2x + a} \right) - 2f\left( x \right)} \right| \leqslant 2$ 的解集为 $\left\{ {x\left|\right.1 \leqslant x \leqslant 2} \right\}$，求 $a$ 的值．标注答案$a = 3$．解析分段求解绝对值不等式的解集，与题中已知解集对比求出 $a$ 即可．记 $h\left(x\right) = f\left(2x + a\right) - 2f\left(x\right)$，则 $h\left( x \right) = {\begin{cases}
- 2a,&x \leqslant 0, \\
4x - 2a,&0 < x < a, \\
2a,&x \geqslant a. \\
\end{cases}} $
由 $\left| {h\left( x \right)} \right| \leqslant 2$，解得\[\dfrac{a - 1}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{a + 1}{2}.\]又已知 $\left| {h\left( x \right)} \right| \leqslant 2$ 的解集为\[\left\{ {x\left|\right.1 \leqslant x \leqslant 2} \right\},\]所以\[ \begin{cases}
\dfrac{a - 1}{2} = 1, \\
\dfrac{a + 1}{2} = 2. \\
\end{cases} \]于是 $a = 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
