题目 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$ B $，$C$ 所对的边分别为 $a$，$ b $，$c$，且 $a + c = 6$，$b = 2$，$\cos B = \dfrac{7}{9}$． 问题1 求 $a$，$c$ 的值； 答案1 $a=c=3$． 解析1 此题是余弦定理的应用．由余弦定理得\[\begin{split}\cos B & =\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac} & =\frac{{{\left(a+c\right)}^{2}}-2ac-{{b}^{2}}}{2ac},\end{split}\]结合已知条件 $a+c=6$，$ b=2 $，$\cos B=\dfrac{7}{9}$．可得 $ ac=9 $，于是\[ \begin{cases}a+c=6 ,\\<br/>ac=9 ,\\<br/>\end{cases}\]解得\[a=c=3.\] 备注1 问题2 求 $\sin \left( {A - B} \right)$ 的值． 答案2 $\sin \left(A-B\right)=\dfrac{10\sqrt{2}}{27}$． 解析2 由第一问的结果可以角 $A$ 的三角函数值，又已知 $B$ 的三角函数值，故而可以用两角差的正弦公式求得结果．在 $ \triangle ABC $ 中，由 $\cos B=\dfrac{7}{9}$，由同角三角函数的关系可得\[\sin B=\dfrac{4\sqrt{2}}{9},\]结合（1），由余弦定理得\[\begin{split}\cos A &=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} &=\dfrac{4+9-9}{2\times 2\times 3} &=\dfrac{1}{3},\end{split}\]所以 $\sin A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，因此\[\begin{split}\sin \left(A-B\right) &\overset{\left[a\right]}=\sin A\cos B-\cos A\sin B \\& =\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{7}{9}-\frac{1}{3}\times \frac{4\sqrt{2}}{9} \\& =\frac{10\sqrt{2}}{27}.\end{split}\]（推导中用到：[a]） 备注2