设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，且 ${S_4} = 4{S_2}$，${a_{2n}} = 2{a_n} + 1$．
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（理）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${{a}_{n}}=2n-1$．解析本题考查了等差数列的基本量，将题中条件都用首项与公差表示，即求出通项公式．设等差数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的公差为 $d$，因为 ${{S}_{4}}=4{{S}_{2}},{{a}_{2n}}=2{{a}_{n}}+1$，所以\[ \begin{cases}
4{{a}_{1}}+\dfrac{4\times 3}{2}d=4\left({{a}_{1}}+{{a}_{1}}+d\right), \\
{{a}_{2}}=2{{a}_{1}}+1={{a}_{1}}+d, \\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}{{a}_{1}}=1, \\
d=2 ,\\
\end{cases} \]所以数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的通项公式为\[{{a}_{n}}=2n-1.\] -
设数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${T_n}$，且 ${T_n} + \dfrac{{{a_n} + 1}}{2^n} = \lambda $（$\lambda $ 为常数），令 ${c_n} = {b_{2n}}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right) $．求数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${R_n}$．标注答案${{R}_{n}} =\dfrac{1}{9}\left(4-\dfrac{3n+1}{{4}^{n-1}}\right)$．解析数列 $\{c_n\}$ 与数列 $\{b_{2n}\}$ 相关，故需要先求 $\{b_n\}$ 的通项公式，由通项与和的关系求通项公式方法求得 $\{b_n\}$ 的通项公式，进而得到 $\{c_n\}$ 的通项公式，于是利用数列求和的方法，解决问题．因为数列 $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${{T}_{n}}$，且\[{{T}_{n}}+\frac{2n}{{{2}^{n}}}=\lambda, \quad \cdots \cdots ① \]所以 $n\geqslant 2$ 时，\[{{T}_{n-1}}+\frac{2n-2}{{{2}^{n-1}}}=\lambda, \quad \cdots \cdots ② \]$ ① - ② $ 得，\[{{T}_{n}}-{{T}_{n-1}}+\frac{2n}{{{2}^{n}}}-\frac{2n-2}{{{2}^{n-1}}}=0,\]于是由通项与和的关系得\[{{b}_{n}}=\frac{2n-2}{{{2}^{n-1}}}-\frac{2n}{{{2}^{n}}}=\frac{n-2}{{{2}^{n-1}}}.\]已知 ${{c}_{n}}={{b}_{2n}}$，数列 $\left\{ {{c}_{n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${{R}_{n}}$，所以\[{{R}_{n}} ={{c}_{1}}+{{c}_{2}}+\cdots +{{c}_{n}}={{b}_{2}}+{{b}_{4}}+\cdots +{{b}_{2n}},\]即\[\begin{split}&{{R}_{n}} =0+\frac{2}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{2n-4}{{{2}^{2n-3}}}+\frac{2n-2}{{{2}^{2n-1}}}, \\
&{{R}_{n}}\times \frac{1}{4} =\frac{2}{{{2}^{5}}}+\frac{4}{{{2}^{7}}}+\cdots +\frac{2n-6}{{{2}^{2n-3}}}+\frac{2n-4}{{{2}^{2n-1}}}+\frac{2n-2}{{{2}^{2n+1}}}.\end{split}\]上述两式错位相减得：\[\begin{split}\dfrac{3}{4}{{R}_{n}} &=\dfrac{2}{{{2}^{3}}}+\dfrac{2}{{{2}^{5}}}+\cdots +\dfrac{2}{{{2}^{2n-1}}}-\dfrac{2n-2}{{{2}^{2n+1}}}\\& =2\left(\dfrac{1}{{{2}^{3}}}+\dfrac{1}{{{2}^{5}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{2n-1}}}\right)-\dfrac{n-1}{{{2}^{2n}}}
\\& =2\times \dfrac{\dfrac{1}{{{2}^{3}}}\times \left[ 1-{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{n-1}} \right]}{1- \dfrac{1}{4} }-\dfrac{n-1}{{{2}^{2n}}}
\\& =\dfrac{1}{3}-\left( n+\dfrac{1}{3} \right)\times {{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{n}},\end{split}\]所以数列 $\left\{ {{c}_{n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为：\[{{R}_{n}} =\frac{1}{9}\left(4-\frac{3n+1}{{4}^{n-1}}\right).\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
