设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\mathrm{e}}^{2x}}}} + c$（${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots $ 是自然对数的底数，$c \in {\mathbb{R}}$）．
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（理）
【标注】
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求 $f\left( x \right)$ 的单调区间、最大值；标注答案函数 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(-\infty ,\dfrac{1}{2}\right) $，单调递减区间是 $ \left(\dfrac{1}{2},+\infty \right) $，最大值为 $\dfrac{1}{2}{{{\mathrm{e}}}^{-1}}+c $．解析本小问考查了利用导数研究函数的单调性，最值．因为\[ {f}'\left(x\right)=\left(1-2x\right){{{\mathrm{e}}}^{-2x}} ,\]由 $ {f}'\left(x\right)=0 $，解得\[ x=\frac{1}{2}. \]当 $ x<\dfrac{1}{2} $ 时，$ {f}'\left(x\right)>0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递增；
当 $ x>\dfrac{1}{2} $ 时，$ {f}'\left(x\right)<0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递减．
所以，函数 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(-\infty ,\dfrac{1}{2}\right) $，单调递减区间是 $ \left(\dfrac{1}{2},+\infty \right) $，最大值为 $ f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2{\mathrm e}}+c $． -
讨论关于 $x$ 的方程 $\left| {\ln x} \right| = f\left( x \right)$ 根的个数．标注答案当 $ c < -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 0 $；
当 $ c = -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 1 $；
当 $ c > -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 2 $．解析可将研究方程的根转化研究函数的零点，需要先去掉绝对值，分段去研究．方程 $|\ln x|=f\left(x\right)$ 的根个数即函数 $ g\left(x\right)=|\ln x|-f\left(x\right)=|\ln x|-x{{{\mathrm{e}}}^{-2x}}-c,x\in \left(0,+\infty \right)$ 的零点个数．
（1）当 $ x\in \left(1,+\infty \right) $ 时，$ \ln x>0 $，则\[ g\left(x\right)=\ln x-x{{{\mathrm{e}}}^{-2x}}-c, \]所以\[ {g}'\left(x\right)={{{\mathrm{e}}}^{-2x}}\left(\frac{{{{\mathrm{e}}}^{2x}}}{x}+2x-1\right). \]因为 $ \dfrac{{{{\mathrm{e}}}^{2x}}}{x} > 0$，$ 2x-1 > 0 $，所以\[ {g}'\left(x\right) > 0.\]因此 $g\left(x\right) $ 在 $\left(1,+\infty \right)$ 上单调递增．
（2）当 $ x\in \left(0,1\right) $ 时，$ \ln x<0 $，则\[ g\left(x\right)=-\ln x-x{{{\mathrm{e}}}^{-2x}}-c, \]所以\[ {g}'\left(x\right)={{{\mathrm{e}}}^{-2x}}\left(-\frac{{{{\mathrm{e}}}^{2x}}}{x}+2x-1\right). \]因为 $ {{{\mathrm{e}}}^{2x}}\in \left(1,{{{\mathrm{e}}}^{2}}\right),{{{\mathrm{e}}}^{2x}}>1>x>0 $，所以\[ -\frac{{{{\mathrm{e}}}^{2x}}}{x}<-1.\]又 $2x-1< 1$，所以 $ -\dfrac{{{{\mathrm{e}}}^{2x}}}{x}+2x-1<0 $，即\[ {g}'\left(x\right)< 0 .\]因此 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left(0,1\right)$ 上单调递减．
综合（1）（2）可知，$g\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 单调递减，在 $ \left(1,+\infty\right)$ 单调递增；
所以，$g\left(x\right)$ 的最小值是 $g\left(1\right)=-{\mathrm{e}}^{-2}-c$．
① 当 $g\left(1\right)=-{\mathrm{e}}^{-2}-c>0$，即 $ c < -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，$g\left(x\right)$ 没有零点，故关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 0 $；
② 当 $g\left(1\right)=-{\mathrm{e}}^{-2}-c=0$，即 $ c =-{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，$g\left(x\right)$ 只有一个零点，故关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 1 $；
③ 当 $g\left(1\right)=-{\mathrm{e}}^{-2}-c<0$，即 $ c > -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，
当 $ x\in \left(1,+\infty \right) $ 时，由（1）知\[ \begin{split}g\left(x\right)&=\ln x-x{{{\mathrm{e}}}^{-2x}}-c&\geqslant \ln x-\left(\dfrac 12{\mathrm{e}}^{-1}+c\right)&>\ln x-1-c, \end{split}\]要使 $g\left(x\right)>0$，只需 $\ln x-1-c>0 $，，即 $ x \in \left({\mathrm{e}}^{1+c},+\infty\right) $；
当 $ x\in \left(0,1\right) $ 时，由（1）知\[ \begin{split}g\left(x\right)&=-\ln x-x{{{\mathrm{e}}}^{-2x}}-c&\geqslant -\ln x-\left(\dfrac 12{\mathrm{e}}^{-1}+c\right)&>-\ln x-1-c, \end{split}\]要使 $g\left(x\right)>0$，只需 $-\ln x-1-c>0 $，即 $ x \in \left(0,{\mathrm{e}}^{-1-c}\right) $．
所以当 $ c > -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，$g\left(x\right)$ 有两个零点，故关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 2 $．
综上所述，
当 $ c < -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 0 $；
当 $ c = -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 1 $；
当 $ c > -{{{\mathrm{e}}}^{-2}} $ 时，关于 $ x $ 的方程 $ |\ln x|=f\left(x\right) $ 根的个数为 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
