题目 已知函数 $f\left( x \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \dfrac{\mathrm \pi} {12}} \right)$，$x \in {\mathbb{R}}$． 问题1 求 $f\left( { - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$ 的值； 答案1 $f\left(-\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}\right) =1$． 解析1 本题考查的任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意可知，函数 $f\left(x\right)=\sqrt 2\cos\left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {12}\right)$，所以\[\begin{split}f\left(-\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{6}\right) & =\sqrt{2}\cos \left(-\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4}\right) \\&\overset{\left[a\right]} =\sqrt{2}\cos \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4} \\& \overset{b}=1.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]） 备注1 问题2 若 $\cos \theta = \dfrac{3}{5}$，$\theta \in \left( {\dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2},2{\mathrm \pi} } \right)$，求 $f\left( {2\theta + \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right)$． 答案2 $f\left(2\theta +\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right) =\dfrac{17}{25}$． 解析2 本题考查的三角变换求值．需要求的值是通过条件得到的，故而写出 $f\left(2\theta +\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)$ 分析得到需要计算的值，然后通过同角三角函数关系或半倍角公式计算得出即可．由于 $\theta \in \left(\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi} } }{2},2{\mathrm{\mathrm \pi} } \right)$，故 $\sin\theta <0$，又 $\cos \theta =\dfrac{3}{5}$，于是由同角三角函数的关系可得 $\sin \theta =-\dfrac{4}{5}$，所以\[\begin{split}f\left(2\theta +\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{3}\right) & =\sqrt{2}\cos \left(2\theta +\frac{{\mathrm{\mathrm \pi} } }{4}\right) \\& \overset{\left[a\right]}=\cos 2\theta -\sin 2\theta \\&\overset{\left[b\right]}=2{{\cos }^{2}}\theta -1-2\sin \theta \cos \theta \\&=2\times \dfrac{9}{25}-1+2\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5} \\& =\frac{17}{25}.\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]） 备注2