题目 设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，已知 ${a_1} = 1 $，$\dfrac{{2{S_n}}}{n} = {a_{n + 1}} - \dfrac{1}{3}{n^2} - n - \dfrac{2}{3} $，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$． 问题1 求 ${a_2}$ 的值； 答案1 $ {{a}_{2}}=4$． 解析1 利用前 $n$ 项和与通项的关系，赋值求出 $a_2$．当 $n=1$ 时，$S_1=a_1$，于是\[ \begin{split} 2{{S}_{1}} =2{{a}_{1}} = {{a}_{2}}-\frac{1}{3}-1-\frac{2}{3}. \end{split} \]把 $ {{a}_{1}}=1 $ 代入，解得 $ {{a}_{2}}=4$． 备注1 问题2 求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案2 ${{a}_{n}}={{n}^{2}}$． 解析2 根据已知的式子是关于 $a_n$ 与 $S_{n}$ 的这个条件，可由通项与其和的关系求出通项公式．由 $ \dfrac{2{{S}_{n}}}{n}={{a}_{n+1}}-\dfrac{1}{3}{{n}^{2}}-n-\dfrac{2}{3} $，得\[ \begin{split}&2{{S}_{n}} =n{{a}_{n+1}}-\frac{1}{3}{{n}^{3}}-{{n}^{2}}-\frac{2}{3}n, \quad \cdots ① \\<br/>&2{{S}_{n+1}} =\left(n+1\right){{a}_{n+2}}-\frac{1}{3}{{\left(n+1\right)}^{3}}-{{\left(n+1\right)}^{2}}-\frac{2}{3}\left(n+1\right), \quad \cdots ② \end{split} \]由通项与前 $n$ 项和的关系作差 $ ② - ① $ 可得\[\frac{{{a}_{n+2}}}{n+2}-\frac{{{a}_{n+1}}}{n+1}=1, \left(n\in {\mathbb{N^*}}\right).\]可得\[\frac{{{a}_{n+1}}}{n+1}-\frac{{{a}_{n}}}{n}=1, \left(n\in{\mathbb{ N^*}},n\geqslant2\right),\]又 $a_2=4$，故 $\left\{\dfrac{{{a}_{n}}}{n}\right\}$ 是从第二项 $\dfrac{{{a}_{2}}}{2}=2$，公差为 $ 1 $ 的等差数列，于是当 $n\geqslant2$ 时，有\[\frac{{{a}_{n}}}{n}=1+\left(n-1\right)=n,\]又 $a_1=1$，符合上式，则 ${{a}_{n}}={{n}^{2}}$． 备注2 问题3 证明：对一切正整数 $n$，有 $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} < \dfrac{7}{4}$． 答案3 略． 解析3 此题是证明级数不等式，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 和不好求出，但是可以先对通项公式进行有效放缩，然后裂项求和来证明不等式．① 当 $ n=1 $ 时，$ \dfrac{1}{{{a}_{1}}}=1<\dfrac{7}{4} $ 成立；<br/>② 当 $ n\geqslant 2 $ 时，\[ \frac{1}{{{a}_{n}}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{{{n}^{2}}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right), \]故可得出\[ \begin{split} &\qquad\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}} \\&<1+\dfrac{1}{2^2-1}+\cdots +\dfrac{1}{n^2-1}\\&\overset{\left[a\right]}= 1+ \frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\right] \\& =\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right) <\frac{7}{4} .\end{split} \]（推导中用到：[a]）<br/>综合以上，对一切正整数 $ n $，有\[ \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}}<\frac{7}{4}. \] 备注3