已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F\left(0,c\right)\left(c > 0\right)$ 到直线 $l:x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\dfrac{3\sqrt 2 }{2}$．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$，其中 $A,B$ 为切点．
【难度】
【出处】
2013年高考广东卷（文）
【标注】
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求抛物线 $C$ 的方程；标注答案${x^2} = 4y$．解析本小问考查了点到直线的距离公式以及抛物线的方程，属于基础题．依题意，设抛物线 $C$ 的方程为 ${x^2} = 4cy\left(c > 0\right)$，由点到直线的距离公式，得\[\dfrac{|0 - c - 2|}{{\sqrt {1 + 1} }} = \dfrac{3\sqrt 2 }{2},\]解得 $c = 1$（负值舍去），故抛物线 $C$ 的方程为\[{x^2} = 4y.\]
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当点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $AB$ 的方程；标注答案${x_0}x - 2y - 2{y_0} = 0$．解析本小问考查切点弦方程，是个有用的结论．由 ${x^2} = 4y$，得 $y = \dfrac{1}{4}{x^2}$，其导数为 $y' = \dfrac{1}{2}x$．设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，则\[x_1^2 = 4{y_1},x_2^2 = 4{y_2},\]切线 $PA$，$PB$ 的斜率分别为 $\dfrac{1}{2}{x_1},\dfrac{1}{2}{x_2}$，所以切线 $PA$ 的方程为\[y - {y_1} = \dfrac{x_1}{2}\left(x - {x_1}\right),\]即\[{x_1}x - 2y - 2{y_1} = 0.\]同理可得切线 $PB$ 的方程为\[{x_2}x - 2y - 2{y_2} = 0.\]因为切线 $PA$，$PB$ 均过点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$，所以\[\begin{split} {x_1}{x_0} - 2{y_0} - 2{y_1} &= 0, \\ {x_2}{x_0} - 2{y_0} - 2{y_2} &= 0,\end{split}\]所以 ${\begin{cases}x = {x_1} \\
y = {y_1} \\
\end{cases}}$ 和 $\begin{cases}x = {x_2} \\
y = {y_2} \\
\end{cases}$ 为方程 ${x_0}x - 2{y_0} - 2y = 0$ 的两组解．
所以直线 $AB$ 的方程为\[{x_0}x - 2y - 2{y_0} = 0.\] -
当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值．标注答案$\dfrac{9}{2}$．解析解决此题的突破点是用抛物线的定义将 $|AF|$ 和 $|BF|$ 表示出来，然后利用第（2）问的结论与抛物线方程联立，得到韦达定理，带入两线段乘积的式子中，进而解决此题．由抛物线定义可知\[\begin{split}\left| {AF} \right| &= {y_1} + 1, \\ \left| {BF} \right| &= {y_2} + 1,\end{split}\]所以\[\begin{split}\left| {AF} \right| \cdot \left| {BF} \right| &= \left({y_1} + 1\right)\left({y_2} + 1\right)\\& = {y_1}{y_2} + \left({y_1} + {y_2}\right) + 1.\end{split}\]联立直线与抛物线方程得\[\begin{cases}{x_0}x - 2y - 2{y_0} = 0, \\
{x^2} = 4y, \\
\end{cases}\]消去 $x$ 并整理得到关于 $y$ 的方程为\[{y^2} + \left(2{y_0} - x_0^2\right)y + y_0^2 = 0.\]由一元二次方程根与系数的关系得\[{y_1} + {y_2} = x_0^2 - 2{y_0} , \quad {y_1}{y_2} = y_0^2.\]所以\[\begin{split} \left| {AF} \right| \cdot \left| {BF} \right| &= {y_1}{y_2} + \left({y_1} + {y_2}\right) + 1\\&= y_0^2 + x_0^2 - 2{y_0} + 1.\end{split}\]又点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$ 在直线 $l$ 上，所以\[{x_0} - {y_0} - 2 = 0,\]即 ${x_0} = {y_0} + 2$，所以\[\begin{split} y_0^2 + x_0^2 - 2{y_0} + 1 &= 2y_0^2 + 2{y_0} + 5 \\&= 2{\left( {{y_0} + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{9}{2},\end{split}\]所以当 ${y_0} = - \dfrac{1}{2}$ 时，$\left| {AF} \right| \cdot \left| {BF} \right|$ 取得最小值，且最小值为 $\dfrac{9}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
