题目 在 $\triangle ABC$ 中，$a = 3$，$b = 2\sqrt 6$，$\angle B = 2\angle A$． 问题1 求 $\cos A$ 的值； 答案1 $ \cos A=\dfrac{\sqrt 6}{3} $． 解析1 直接利用正弦定理，结合二倍角公式即可求解．因为 $ a=3 $，$ b=2\sqrt 6 $，$ \angle B=2\angle A $，所以在 $ \triangle ABC $ 中，由正弦定理得\[ \dfrac{3}{\sin A}=\dfrac{2\sqrt 6}{\sin 2A} .\]又因为 $\sin 2A=2\sin A\cos A$，所以\[\dfrac{2\sin A\cos A}{\sin A}=\dfrac{2\sqrt 6}{3} .\]故 $ \cos A=\dfrac{\sqrt 6}{3} $． 备注1 问题2 求 $c$ 的值． 答案2 $ c=5 $． 解析2 本题可以用正弦定理或余弦定理求解，注意角之间的关系．由（1）知 $ \cos A=\dfrac{\sqrt 6}{3} $，所以由同角三角函数关系可得\[\sin A=\sqrt{1-\cos ^2 A}=\dfrac{\sqrt 3}{3} .\]又因为 $ \angle B=2\angle A $，所以\[\cos B\overset{\left[a\right]}=2\cos ^2A-1=\dfrac 13 .\]（推导中用到：）<br/>所以，由同角三角函数关系得\[ \sin B=\sqrt{1-\cos ^2B}=\dfrac{2\sqrt 2}{3} .\]在 $ \triangle ABC $ 中，\[\begin{split} \sin C&\overset{\left[b\right]}=\sin \left(A+B\right)\\&\overset{\left[b\right]}=\sin A\cos B+\cos A\sin B\\&=\dfrac{5\sqrt 3}{9} .\end{split}\]（推导中用到：[b]，[c]）<br/>所以由正弦定理可得\[c=\dfrac{a \sin C}{\sin A}=5 .\] 备注2