设函数 $ f\left(x\right)={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\cos \left( 2x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}\right) +\sin ^2x $．
【难度】
【出处】
2012年高考安徽卷（理）
【标注】
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求 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期；标注答案解析\[ \begin{split}f\left(x\right) &={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\cos \left( 2x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}\right) +\sin ^2x\\&={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}} \left(\cos 2x\cos {\dfrac{\mathrm \pi }{4}}-\sin 2x\sin {\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}\right) +{\dfrac{1-\cos 2x}{2}}\\&={\dfrac{1}{2}}-{\dfrac{1}{2}}\sin 2x, \end{split} \]故 $ f\left(x\right) $ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi } $．
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设函数 $ g\left(x\right) $ 对任意 $ x\in {\mathbb{R}}$，有 $ g \left(x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right) =g\left(x\right) $，且当 $ x\in \left[ 0,{\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right]$ 时，$ g\left(x\right)={\dfrac{1}{2}}-f\left(x\right) $，求 $ g\left(x\right) $ 在区间 $ \left[-{\mathrm \pi } ,0\right] $ 上的解析式．标注答案解析当 $ x\in\left[ 0,{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right] $ 时，\[ g\left(x\right)={\dfrac{1}{2}}-f\left(x\right)={\dfrac{1}{2}}\sin 2x, \]① 当 $ x\in \left[-{\dfrac{\mathrm \pi }{2}},0\right] $ 时，$ x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\in \left[0,{\dfrac{ {\mathrm \pi } }{2}} \right] $．
由于对任意 $ x\in {\mathbb{R}}$，$g\left( x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right) =g\left(x\right) $，从而\[ \begin{split}g\left(x\right) &=g \left(x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} \right)\\&={\dfrac{1}{2}}\sin \left[2\left( x+{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} \right)\right] \\&={\dfrac{1}{2}}\sin \left({\mathrm \pi } +2x\right)\\&=-{\dfrac{1}{2}}\sin 2x.\end{split} \]② 当 $ x\in \left[-{\mathrm \pi } ,-{\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right)$ 时，$ x+{\mathrm \pi }\in \left[0,{\dfrac{\mathrm \pi }{2}}\right) $，从而\[\begin{split} g\left(x\right)&=g\left(x+{\mathrm \pi }\right)\\&={\dfrac{1}{2}}\sin \left[2\left(x+{\mathrm \pi } \right)\right]\\&={\dfrac{1}{2}}\sin 2x.\end{split}\]综合 ①② 得 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[-{\mathrm \pi },0\right] $ 上的解析式为\[ g\left(x\right)= \begin{cases}{\dfrac{1}{2}}\sin 2x,& x\in \left[ -{\mathrm \pi },-{\dfrac{\mathrm \pi }{2}}\right) ,\\-{\dfrac{1}{2}}\sin 2x, &x\in \left[ -{\dfrac{\mathrm \pi }{2}},0\right] . \end{cases} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
