题目 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 $ 100 $ 名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：<br><img src="/static/images/4f33b4fae8e5d494c20c7b7be677a6ae.png" class="img-responsive" /> 将日均收看该体育节目时间不低于 $ 40 $ 分钟的观众称为"体育迷"．<br/>附：$ \chi^ 2={\dfrac{n\left(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}\right)^2}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}}$，\[ \begin{array}{c|cc}<br/>P\left(\chi ^2\geqslant k\right)& 0.05 &0.01 \\ \hline<br/>k& 3.841& 6.635 \end{array} \] 问题1 根据已知条件完成下面的 $ 2\times 2 $ 列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>&非体育迷 &体育迷& 合计\\ \hline<br/>男&&& \\ \hline<br/>女 &&10& 55 \\ \hline<br/>合计&&& \\ \hline \end{array} \] 答案1 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>&非体育迷& 体育迷& 合计\\ \hline<br/>男& 30 &15& 45 \\ \hline<br/>女 &45 &10& 55\\ \hline<br/>合计 &75 &25 &100\\ \hline\end{array} \]没有理由认为"体育迷"与性别有关 解析1 由频率分布直方图可知，在抽取的 $ 100 $ 人中，"体育迷"有 $ 25 $ 人，从而完成 $ 2\times 2 $ 列联表如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline<br/>&非体育迷& 体育迷& 合计\\ \hline<br/>男& 30 &15& 45 \\ \hline<br/>女 &45 &10& 55\\ \hline<br/>合计 &75 &25 &100\\ \hline\end{array} \]将 $ 2\times 2 $ 列联表中的数据代入公式计算，得\[ \begin{split}\chi ^2 &=\dfrac{n\left(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}\right)^2}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}\\&=\dfrac{100\times \left(30\times 10-45\times 15\right)^2}{75\times 25\times 45\times 55}\\&=\dfrac{100}{33}\\&\approx 3.030. \end{split} \]因为 $ 3.030<3.841 $，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关． 备注1 问题2 将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取 $ 3 $ 次，记被抽取的 $ 3 $ 名观众中的"体育迷"人数为 $ X $．若每次抽取的结果是相互独立的，求 $ X $ 的分布列，期望 $ E\left(X\right) $ 和方差 $ D\left(X\right) $． 答案2 $ X $ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline<br/>X &0 &1 &2 &3\\ \hline<br/>P &{\dfrac{27}{64}}& {\dfrac{27}{64}} &{\dfrac{9}{64}}& {\dfrac{1}{64}} \\ \hline\end{array} \]\[ \begin{split} E\left(X\right)&=np=3\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4},\\D\left(X\right)&=np\left(1-p\right)=3\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16}.\end{split} \] 解析2 由频率分布直方图知抽到"体育迷"的频率为 $ 0.25 $，将频率视为概率，即从观众中抽取一名"体育迷"的概率为 $ {\dfrac{1}{4}} $．<br/>由题意 $ X\sim B \left(3 ,{\dfrac{1}{4}}\right)$，从而 $ X $ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline<br/>X &0 &1 &2 &3\\ \hline<br/>P &{\dfrac{27}{64}}& {\dfrac{27}{64}} &{\dfrac{9}{64}}& {\dfrac{1}{64}} \\ \hline\end{array} \]\[ \begin{split} E\left(X\right)&=np=3\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4},\\D\left(X\right)&=np\left(1-p\right)=3\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16}.\end{split} \] 备注2