设 $f\left(x\right) = \ln \left(x + 1\right) + \sqrt {x + 1} + ax + b$（$a,b \in {\mathbb{R}},a,b$ 为常数），曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = \dfrac{3}{2}x$ 在 $\left( {0,0} \right)$ 点相切．
【难度】
【出处】
2012年高考辽宁卷（理）
【标注】
-
求 $a,b$ 的值；标注答案解析由 $y = f\left( x \right)$ 过 $\left( {0,0} \right)$ 点，得 $b = - 1$．
由 $y = f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,0} \right)$ 点的切线斜率为 $\dfrac{3}{2}$，又\[ \begin{split} y'{|_{x = 0}} &= \left({\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + a} \right)\left| \right._{x = 0} \\& = \dfrac{3}{2} + a,\end{split} \]得 $a = 0$． -
证明：当 $0 < x < 2$ 时，$f\left(x\right) < \dfrac{9x}{x + 6}$．标注答案解析由均值不等式，当 $x > 0$ 时，$2\sqrt {\left( {x + 1} \right) \cdot 1} < x + 1 + 1 = x + 2$，故
$\sqrt {x + 1} < \dfrac{x}{2} + 1$．
记 $h\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{9x}{x + 6}$，则\[ \begin{split} h'\left(x \right)&= \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{54}{{{{\left({x + 6} \right)}^2}}}\\
& = \frac{{2 + \sqrt {x + 1} }}{{2\left({x + 1} \right)}} - \frac{54}{{{{\left({x + 6} \right)}^2}}}\\
&< \frac{x + 6}{{4\left({x + 1} \right)}} - \frac{54}{{{{\left({x + 6} \right)}^2}}}\\
&= \frac{{{{\left({x + 6} \right)}^3} - 216\left({x + 1} \right)}}{{4\left({x + 1} \right){{\left({x + 6} \right)}^2}}},\end{split} \]令 $g\left( x \right) = {\left( {x + 6} \right)^3} - 216\left( {x + 1} \right)$，则当 $0 < x < 2$ 时，\[g'\left( x \right) = 3{\left( {x + 6} \right)^2} - 216 < 0 .\]因此 $g\left( x \right)$ 在 $\left( {0,2} \right)$ 内是递减函数，又由 $g\left( 0 \right) = 0$，得
$g\left( x \right) < 0$，所以 $h'\left( x \right) < 0$．
因此 $h\left( x \right)$ 在 $\left( {0,2} \right)$ 内是递减函数，又 $h\left( 0 \right) = 0$，得 $h\left( x \right) < 0$．于是当 $0 < x < 2$ 时，$f\left( x \right) < \dfrac{9x}{x + 6}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
