在直角坐标系 $ xOy $ 中，圆 $ C_1:x^2+y^2=4 $，圆 $ C_2:\left(x-2\right)^2+y^2=4 $．
【难度】
【出处】
2012年高考辽宁卷（文）
【标注】
-
在以 $ O $ 为极点，$ x $ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $ C_1$、$C_2 $ 的极坐标方程，并求出圆 $ C_1$，$C_2 $ 的交点坐标（用极坐标表示）；标注答案解析圆 $ C_1 $ 的极坐标方程为\[\rho =2,\]圆 $ C_2 $ 的极坐标方程为\[ \rho =4\cos \theta .\]解方程组\[ \begin{cases}\rho =2,\\ \rho =4\cos \theta ,\end{cases}\]得\[ \rho =2,\theta =\pm {\dfrac{\mathrm \pi }{3}},\]故圆 $ C_1 $ 与圆 $ C_2 $ 交点的坐标为 $ \left(2,{\dfrac{\mathrm \pi }{3}}\right) ,\left( 2,-{\dfrac{\mathrm \pi }{3}}\right) $．
注：极坐标系下点的表示不唯一． -
求圆 $ C_1 $ 与 $ C_2 $ 的公共弦的参数方程．标注答案解析解法一：由\[ \begin{cases}x=\rho \cos \theta ,\\y=\rho \sin \theta ,\end{cases} \]得圆 $ C_1 $ 与 $ C_2 $ 交点的直角坐标分别为\[ \left(1, {\sqrt{3}}\right),\left(1,-{\sqrt{3}}\right) .\]故圆 $ C_1 $ 与 $ C_2 $ 的公共弦的参数方程为\[ \begin{cases}x=1,\\y=t.\end{cases}\]其中 $-{\sqrt{3}}\leqslant t\leqslant {\sqrt{3}}.$
解法二：将 $ x=1 $ 代入 $ \begin{cases}x=\rho \cos \theta ,\\y=\rho \sin \theta,\end{cases} $ 得\[ \rho \cos \theta =1, \]从而\[ \rho ={\dfrac{1}{\cos \theta }}.\]于是圆 $ C_1 $ 与 $ C_2 $ 的公共弦的参数方程为\[ \begin{cases}x=1,\\y=\tan \theta , \end{cases}\]其中 $-{\dfrac{\mathrm \pi }{3}}\leqslant \theta \leqslant {\dfrac{\mathrm \pi }{3}}.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
