已知函数 $f\left(x\right) = 2\cos \left( {\omega x + \dfrac{\mathrm \pi }{6}} \right)$（其中 $\omega > 0$，$x \in {\mathbb{R}}$）的最小正周期为 $10{\mathrm \pi }$．
【难度】
【出处】
2012年高考广东卷（理）
【标注】
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求 $\omega $ 的值；标注答案解析由 $ {\dfrac{2{\mathrm \pi } }{\omega }}=10{\mathrm \pi } $，得 $ \omega ={\dfrac{1}{5}}. $
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设 $\alpha , \beta \in \left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi }{2}} \right]$，$f\left( {5\alpha + \dfrac{5}{3}{\mathrm \pi }} \right) = - \dfrac{6}{5}$，$f\left( {5\beta - \dfrac{5}{6}{\mathrm \pi }} \right) = \dfrac{16}{17}$，求 $\cos \left(\alpha + \beta \right)$ 的值．标注答案解析因为\[ \begin{split}f\left( 5\alpha +{\dfrac{5}{3}}{\mathrm \pi }\right) &=2\cos \left[ {\dfrac{1}{5}} \left(5\alpha +{\dfrac{5}{3}}{\mathrm \pi } \right) +{\dfrac{\mathrm \pi }{6}}\right] \\&=2\cos \left(\alpha +{\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}}\right) =-2\sin \alpha=-{\dfrac{6}{5}} , \\ f \left(5\beta -{\dfrac{5}{6}}{\mathrm \pi }\right)&=2\cos \left[{\dfrac{1}{5}} \left(5\beta -{\dfrac{5}{6}}{\mathrm \pi }\right) +{\dfrac{{\mathrm \pi } }{6}}\right] \\&=2\cos \beta={\dfrac{16}{17}} ,\end{split} \]所以 $\sin \alpha ={\dfrac{3}{5}}$，$\cos \beta ={\dfrac{8}{17}} $．
$\because$ $ \alpha ,\beta \in \left[0,{\dfrac{\mathrm \pi }{2}}\right] $，
所以\[ \begin{split}\cos \alpha &={\sqrt{1-\sin ^2\alpha }}={\sqrt{1- \left({\dfrac{3}{5}} \right)^2}}={\dfrac{4}{5}},\\ \sin \beta &={\sqrt{1-\cos ^2\beta }}={\sqrt{1- \left({\dfrac{8}{17}}\right)^ 2}}={\dfrac{15}{17}}.\end{split} \]所以\[ \begin{split}\cos \left(\alpha +\beta \right) &=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\&={\dfrac{4}{5}}\times {\dfrac{8}{17}}-{\dfrac{3}{5}}\times {\dfrac{15}{17}}\\&=-{\dfrac{13}{85}}. \end{split} \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
