在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C$：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的离心率 $e= \sqrt {\dfrac{2}{3}} $，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q\left(0 , 2\right)$ 的距离的最大值为 $ 3 $．
【难度】
【出处】
2012年高考广东卷（理）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案解析由\[e = \dfrac{c}{a} = \sqrt {\dfrac{2}{3}} \Rightarrow {c^2} = \dfrac{2}{3}{a^2},\]所以\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = \dfrac{1}{3}{a^2}.\]椭圆方程为 $ x^2+3y^2=3b^2 $．
椭圆上的点 $P\left(x,y\right)$ 到点 $ Q $ 的距离 $ d=\sqrt{x^2+{\left(y-2\right)}^2}=\sqrt{-2\left(y+1\right)^2+6+3b^2}\left(-b\leqslant y\leqslant b\right) $．
（i）$ -b\leqslant -1 $，即 $ b\geqslant 1 $ 时，$ d_{{\mathrm{max}}}=\sqrt{6+3b^2}=3 $，得 $ b=1 $；
（ii）$ -b> -1 $，即 $ b< 1 $ 时，$ d_{{\mathrm{max}}}=\sqrt{b^2+4b+4}=3 $，得 $ b=1 $（舍）．
所以 $b = 1$，
故椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{3} +y^2 = 1$． -
在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M\left(m , n\right)$，使得直线 $l:mx + ny = 1$ 与圆 $O:{x^2} + {y^2} = 1$ 相交于不同的两点 $A , B$，且 $\triangle OAB$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及相对应的 $\triangle OAB$ 的面积；若不存在，请说明理由．标注答案解析$\triangle AOB $ 中，$|OA|=|OB|=1$，则可得\[\begin{split}S_{\triangle AOB}&=\dfrac 1 2 \times |OA| \times |OB| \times \sin {\angle AOB}\\&=\dfrac 1 2 \sin {\angle AOB} \leqslant \dfrac 1 2,\end{split} \]当且仅当 $\angle AOB=90 ^\circ$ 时，$S_{\triangle AOB}$ 有最大值为 $\dfrac12$．
当 $\angle AOB=90 ^\circ $ 时，点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离为\[d=\dfrac 1 {\sqrt{m^2+n^2}} =\dfrac {\sqrt 2} 2 ,\]即\[m^2+n^2=2, \quad \cdots \cdots ① \]又 $M\left(m,n\right)$ 在椭圆上，知\[m^2+3n^2=3, \quad \cdots \cdots ② \]联立 $ ①② $ 可求出\[m^2=\dfrac 3 2 ,n^2=\dfrac 1 2, \]所以\[M\left(\pm \dfrac {\sqrt 6} 2 , \pm \dfrac {\sqrt 2} 2 \right).\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
