设 $a < 1$，集合 $A = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\left|\right.x > 0\right\} $，$B = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\left|\right.2{x^2} - 3\left(1 + a\right)x + 6a > 0\right\} $，$D = A \cap B$．
【难度】
【出处】
2012年高考广东卷（理）
【标注】
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求集合 $D$（用区间表示）；标注答案解析对于方程 $2{x^2} - 3\left(1 + a\right)x + 6a = 0$，判别式\[\Delta = 9{\left(1 + a\right)^2} - 48a = 3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right),\]因为 $a < 1$，所以 $a - 3 < 0$，
① 当 $\dfrac{1}{3} < a < 1$ 时，$\Delta < 0$，此时 $B = {\mathbb{R}} $，所以 $D = A $；
② 当 $a = \dfrac{1}{3}$ 时，$\Delta = 0$，此时 $B = \left\{ x\left|\right.x \ne 1\right\} $，所以 $D = \left(0,1\right) \cup \left(1, + \infty \right)$；
③ 当 $a < \dfrac{1}{3}$ 时，$\Delta > 0$，设方程 $2{x^2} - 3\left(1 + a\right)x + 6a = 0$ 的两根为 ${x_1},{x_2}$ 且 ${x_1} < {x_2}$，则\[\begin{split}{x_1} &= \dfrac{{3\left(1 + a\right) - \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4}, \\ {x_2} &= \dfrac{{3\left(1 + a\right) + \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4},\end{split}\]$B = \left\{ x\left|\right.x < {x_1}或x > {x_2}\right\} $，
1）当 $0 < a < \dfrac{1}{3}$ 时，\[\begin{split}{x_1} + {x_2} &= \dfrac{3}{2}\left(1 + a\right) > 0, \\ {x_1}{x_2} &= 3a > 0,\end{split}\]所以 ${x_1} > 0,{x_2} > 0$，此时，\[\begin{split}D &= \left(x,{x_1}\right) \cup \left({x_2}, + \infty \right) \\& = \left( {0,\dfrac{{3\left(1 + a\right) - \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4}} \right)\\& \cup \left( {\dfrac{{3\left(1 + a\right) + \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4}, + \infty } \right);\end{split}\]2）当 $a \leqslant 0$ 时，${x_1}{x_2} = 3a \leqslant 0$，所以 ${x_1} \leqslant 0,{x_2} > 0$，此时，\[\begin{split}D = \left({x_2}, + \infty \right) = \left( {\dfrac{{3\left(1 + a\right) + \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4}, + \infty } \right).\end{split}\] -
求函数 $f\left(x\right) = 2{x^3} - 3\left(1 + a\right){x^2} + 6ax$ 在 $D$ 内的极值点．标注答案解析首先\[\begin{split}f'\left(x\right) &= 6{x^2} - 6\left(1 + a\right)x + 6a \\&= 6\left(x - 1\right)\left(x - a\right),a < 1,\end{split}\]所以函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,1\right]$ 上为减函数，在区间 $\left( - \infty ,a\right]$ 和 $\left[1, + \infty \right)$ 上为增函数．
① $x=1$ 是极值点 $\Leftrightarrow 1 \in B \Leftrightarrow \dfrac 1 3 <a<1$，
② $x=a$ 是极值点 $\Leftrightarrow a \in A,a \in B \Leftrightarrow 0<a<1$．
综上：
$a \leqslant 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $ D $ 内没有极值点；
当 $0 < a \leqslant \dfrac{1}{3}$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $D$ 内有极值点 $a$；
当 $\dfrac 1 3 <a<1$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $D$ 内有极值点 $a$ 和 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
