设有下面四个命题
$p_1$：若复数 $z$ 满足 $\dfrac 1z\in \mathbb R$，则 $z\in \mathbb R$；
$p_2$：若复数 $z$ 满足 $z^2\in \mathbb R$，则 $z\in \mathbb R$；
$p_3$：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1z_2\in \mathbb R$，则 $z_1=\overline{z_2}$；
$p_4$：若复数 $z\in \mathbb R$，则 $\overline{z}\in \mathbb R$．
其中的真命题为
\((\qquad)\)
$p_1$：若复数 $z$ 满足 $\dfrac 1z\in \mathbb R$，则 $z\in \mathbb R$；
$p_2$：若复数 $z$ 满足 $z^2\in \mathbb R$，则 $z\in \mathbb R$；
$p_3$：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1z_2\in \mathbb R$，则 $z_1=\overline{z_2}$；
$p_4$：若复数 $z\in \mathbb R$，则 $\overline{z}\in \mathbb R$．
其中的真命题为
\((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
$p_1$：设 $z=a+b{\rm i}$，则 $\dfrac 1z=\dfrac{1}{a+b{\rm i}}=\dfrac{a-b{\rm i}}{a^2+b^2}$，由 $\dfrac 1z \in \mathbb R$，得 $b=0$，故 $z=a\in \mathbb R$，因此 $p_1$ 正确；
$p_2$：若 $z=\rm i$，则 $z^2=-1$，满足 $z^2\in \mathbb R$，但 $z\notin \mathbb R$，因此 $p_2$ 不正确；
$p_3$：若 $z_1=\rm i$，$z_2=2\rm i$，则 $z_1z_2=-2\in \mathbb R$，但 $z_1$ 与 $z_2$ 不是共轭复数，因此 $p_3$ 不正确；
$p_4$：若 $z=a+b{\rm i}\in \mathbb R$，则 $b=0$，$\bar z=a-b{\rm i}=a\in \mathbb R$，故 $p_4$ 正确．
$p_2$：若 $z=\rm i$，则 $z^2=-1$，满足 $z^2\in \mathbb R$，但 $z\notin \mathbb R$，因此 $p_2$ 不正确；
$p_3$：若 $z_1=\rm i$，$z_2=2\rm i$，则 $z_1z_2=-2\in \mathbb R$，但 $z_1$ 与 $z_2$ 不是共轭复数，因此 $p_3$ 不正确；
$p_4$：若 $z=a+b{\rm i}\in \mathbb R$，则 $b=0$，$\bar z=a-b{\rm i}=a\in \mathbb R$，故 $p_4$ 正确．
题目
答案
解析
备注
