已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $A(-2,-1)$，且 $a=2b$．
【难度】
【出处】
2020年高考北京卷
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$解析略
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过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M,N$，直线 $MA,NA$ 分别交直线 $x=-4$ 于点 $P,Q$，求 $\frac{|PB|}{|BQ|}$ 的值．标注答案略解析设直线 $BMN$ 为 $x=ty-4$，联立椭圆 $x^2+2y^2-8=0$．
设 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$．
得到方程 $\left(t^2+2\right)y^2-8ty+8=0$．
$\Delta=64t^2-32t^2-64>0$，即 $t^2>2$．
且 $y_1+y_2=\frac{8t}{t^2+2}$，$y_1y_2=\frac{8}{t^2+2}$．
则直线 $AM:y+1=\frac{y_1+1}{x_1+2}\left(x+2\right)$．
解得 $y_M=\frac{-2\left(y_1+1\right)}{x_1+2}-1$，同理可得 $y_N=\frac{-2\left(y_2+1\right)}{x_2+2}-1$
接下来我们证明 $y_M+y_N=0$．
即证明 $\frac{y_1+1}{x_1+2}+\frac{y_2+1}{x_2+2}+1=0$
整理可得 $\left(t^2+2t\right)y_1y_2=\left(t+2\right)\left(y_1+y_2\right)$，即 $y_1+y_2=ty_1y_2$，容易证明是正确的．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
