法一：设直线 $l_1$ 的倾斜角为 $\alpha$，则$|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha}$，$|DE|=\dfrac{2p}{\sin^2\left(\alpha -\dfrac{\pi}{2}\right)}=\dfrac{2p}{\cos ^2\alpha}$，所以\[\begin{split}|AB|+|DE|&=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha}+\dfrac{2p}{\cos^2\alpha}\\&=4\left(\dfrac 1{\sin^2\alpha}+\dfrac 1{\cos^2\alpha}\right)\\&=4\left(2+\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin ^2\alpha}\right)\\&\overset{[a]}\geqslant 4\cdot (2+2)=16,\end{split}\]（其中 $[a]$：）
当且仅当 $|\sin \alpha|=|\cos \alpha|$，即 $\alpha=\dfrac {\pi}{4}$ 或 $\dfrac{3\pi}{4}$ 时，取得最小值 $16$．
法二：设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$D(x_3,y_3)$，$E(x_4,y_4)$，设直线 $l_1$ 的方程为 $y=k(x-1)$，与抛物线方程联立得$$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0,$$所以 $x_1+x_2=\dfrac{2k^2+4}{k^2}$，
同理由 $l_1$ 与 $l_2$ 垂直可知，直线 $l_2$ 与抛物线的交点满足 $x_3+x_4=\dfrac{2\cdot \left(-\dfrac 1k\right)^2+4}{\left(-\dfrac 1k\right)^2}$．
所以由抛物线定义可知\[\begin{split}|AB|+|DE|&=x_1+x_2+x_3+x_4+2p\\&=\dfrac{2k^2+4}{k^2}+\dfrac{2\cdot \left(-\dfrac 1k\right)^2+4}{\left(-\dfrac 1k\right)^2}+4\\&=4k^2+\dfrac 4{k^2}+8\\&\overset{[b]}\geqslant 2\sqrt{4k^2\cdot \dfrac 4{k^2}}+8=16,\end{split}\]（其中 $[b]$：）
当且仅当 $4k^2=\dfrac 4{k^2}$，即 $k=\pm 1$ 时，取得等号．