设 $m$ 的立方根是一个形如 $n+r$ 的数，这里 $n$ 是一个正整数，$r$ 是一个小于 $\frac{1}{1000}$ 的正实数．当 $m$ 是满足上述条件的最小正整数时，求 $n$ 的值．
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
19
【解析】
依题意得 $\sqrt[3]{m}=n+r$，$0<r<\frac{1}{1000}$，
所以 $n<\sqrt[3]{m}<n+{{10}^{-3}}$，即 ${{n}^{3}}<m<{{\left(n+{{10}^{-3}} \right)}^{3}}$．
若有整数 $m$ 满足此不等式，则 $m$ 的最小可能值是 ${{n}^{3}}+1$，所以 ${{n}^{3}}+1<{{\left(n+{{10}^{-3}} \right)}^{3}}$，
$1<3{{n}^{2}}\times {{10}^{-3}}+3n\times {{10}^{-6}}+{{10}^{-9}}$，即 ${{n}^{2}}+\frac{n}{1000}+\frac{1}{3000000}>\frac{1000}{3}$，${{n}^{2}}\approx\frac{1000}{3}$．
由于 ${{18}^{2}}<\frac{1000}{3}<{{19}^{2}}$，可猜 $n=18$ 或 $n=19$，经验证 $n=18$ 时上面不等式不成立，当 $n=19$ 时不等式满足，因此 $n=19$ 是满足题意的最小正整数（此时 $m={{19}^{3}}+1=6860$ 是立方根有一个小于 $\frac{1}{1000}$ 的小数部分的最小正整数）．
所以 $n<\sqrt[3]{m}<n+{{10}^{-3}}$，即 ${{n}^{3}}<m<{{\left(n+{{10}^{-3}} \right)}^{3}}$．
若有整数 $m$ 满足此不等式，则 $m$ 的最小可能值是 ${{n}^{3}}+1$，所以 ${{n}^{3}}+1<{{\left(n+{{10}^{-3}} \right)}^{3}}$，
$1<3{{n}^{2}}\times {{10}^{-3}}+3n\times {{10}^{-6}}+{{10}^{-9}}$，即 ${{n}^{2}}+\frac{n}{1000}+\frac{1}{3000000}>\frac{1000}{3}$，${{n}^{2}}\approx\frac{1000}{3}$．
由于 ${{18}^{2}}<\frac{1000}{3}<{{19}^{2}}$，可猜 $n=18$ 或 $n=19$，经验证 $n=18$ 时上面不等式不成立，当 $n=19$ 时不等式满足，因此 $n=19$ 是满足题意的最小正整数（此时 $m={{19}^{3}}+1=6860$ 是立方根有一个小于 $\frac{1}{1000}$ 的小数部分的最小正整数）．
答案
解析
备注
