若 $a>b>0$，且 $ab=1$，则下列不等式成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为 $a>b>0$，且 $ab=1$，所以 $a>1,0<b<1$．
由于 $a+b=a+\dfrac{1}{a}>2$，故\[\log_{2}(a+b)>1>\dfrac{b}{2^{a}}.\]构造函数 $f(x)=x-\log_{2}x,x>2$，则\[f'(x)=1-\dfrac{1}{x\ln 2}=\dfrac{x\ln 2-1}{x\ln 2},\]所以 $x>2$ 时，$f'(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，所以有\[\forall x>2,f(x)>f(2)=2-\log_{2} 2>0,\]故有\[a+\dfrac{1}{b}=2a>\log_{2}(2a)>\log_{2}(a+b),\]综上有，$\dfrac{b}{2^{a}}<\log_{2}(a+b)<a+\dfrac{1}{b}$．
由于 $a+b=a+\dfrac{1}{a}>2$，故\[\log_{2}(a+b)>1>\dfrac{b}{2^{a}}.\]构造函数 $f(x)=x-\log_{2}x,x>2$，则\[f'(x)=1-\dfrac{1}{x\ln 2}=\dfrac{x\ln 2-1}{x\ln 2},\]所以 $x>2$ 时，$f'(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，所以有\[\forall x>2,f(x)>f(2)=2-\log_{2} 2>0,\]故有\[a+\dfrac{1}{b}=2a>\log_{2}(2a)>\log_{2}(a+b),\]综上有，$\dfrac{b}{2^{a}}<\log_{2}(a+b)<a+\dfrac{1}{b}$．
题目
答案
解析
备注
