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在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，且满足 $\sin B(1+2\cos C)=2\sin A\cos C+\cos A\sin C$，则下列等式成立的是 \((\qquad)\)
A: $a=2b$
B: $b=2a$
C: $A=2B$
D: $B=2A$
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    诱导公式
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    正弦定理
  • 题型
    >
    三角
【答案】
A
【解析】
由 $\sin B(1+2\cos C)=2\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 得\[\sin B+2\sin B\cos C=\sin (A+C)+\sin A\cos C,\]在 $\triangle ABC$ 中，$\sin B=\sin (A+C)$，故有\[2\sin B\cos C=\sin A\cos C,\]因为 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，所以 $\cos C\ne 0$，因此有\[2\sin B=\sin A.\]由正弦定理可得\[a=2b.\]
题目 答案 解析 备注
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