已知当 $x\in[0,1]$ 时，函数 $y=(mx-1)^{2}$ 的图象与 $y=\sqrt x +m$ 的图象有且只有一个交点，则正实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $f(x)=(mx-1)^2-\sqrt x-m$，$x\in [0,1]$，则\[\begin{split}
f(0)&=1-m,\\
f(1)&=(m-1)^2-1-m=m(m-3)
,\end{split}\]得到讨论分界点 $m=1,3$．
情形一：$m\in (0,1)$．此时函数 $f(x)$ 单调递减，且 $f(0)\cdot f(1)<0$，因此有唯一零点，符合题意．
情形二：$m=1$．此时函数 $f(x)$ 单调递减，且 $f(0)=0$，因此有唯一零点，符合题意．
情形三：$m\in (1,3)$．此时函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2m(mx-1)-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]是单调递增函数，因此 $f(x)$ 或者单调，或者先单调递减再单调递增，因此在区间端点处取得最大值．而此时 $f(0)<0$ 且 $f(1)<0$，不符合题意．
情形四：$m \in \left[3,+\infty\right)$．与情形三类似，此时 $f(0)<0$，$f(1)\geqslant 0$，结合 $f(x)$ 的单调性，符合题意．
综上所述，正实数 $m$ 的取值范围是 $(0,1]\cup \left[3,+\infty\right)$．
f(0)&=1-m,\\
f(1)&=(m-1)^2-1-m=m(m-3)
,\end{split}\]得到讨论分界点 $m=1,3$．
情形一：$m\in (0,1)$．此时函数 $f(x)$ 单调递减，且 $f(0)\cdot f(1)<0$，因此有唯一零点，符合题意．
情形二：$m=1$．此时函数 $f(x)$ 单调递减，且 $f(0)=0$，因此有唯一零点，符合题意．
情形三：$m\in (1,3)$．此时函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2m(mx-1)-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]是单调递增函数，因此 $f(x)$ 或者单调，或者先单调递减再单调递增，因此在区间端点处取得最大值．而此时 $f(0)<0$ 且 $f(1)<0$，不符合题意．
情形四：$m \in \left[3,+\infty\right)$．与情形三类似，此时 $f(0)<0$，$f(1)\geqslant 0$，结合 $f(x)$ 的单调性，符合题意．
综上所述，正实数 $m$ 的取值范围是 $(0,1]\cup \left[3,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
