题目 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正实数，且对任意正整数 $n$，都有 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$． 问题1 证明：对任意整数 $n$（$n\geqslant 2$），都有 $a_n\leqslant \frac{1}{n+2}$； 答案1 略 解析1 由数列 $\{a_n\}$ 各项均为正实数，得$$a_{n+1}=a_n-a_n^2>0\Rightarrow a_n\in (0,1).$$所以$$a_{n+1}=a_n-a_n^2=-\left(a_n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\leqslant \frac{1}{4}.$$特别地，我们有 $a_2\leqslant \frac{1}{2+2}$．<br/>假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $a_k\leqslant \frac{1}{k+2}$．则当 $n=k+1$ 时，有$$\begin{aligned}<br/>a_{k+1}=a_k-a_k^2&=-\left(a_k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\\<br/>&\leqslant -\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=\frac{k+1}{(k+2)^2}\\<br/>&<\frac{k+1}{(k+1)(k+3)}=\frac{1}{(k+1)+2}\\<br/>\end{aligned}$$即当 $n=k+1$ 时，结论也成立．<br/>故对任意整数 $n\geqslant 2$，都有 $a_n\leqslant \frac{1}{n+2}$． 备注1 问题2 证明：对任意正整数 $n$，都有 $\displaystyle \sum^n_{i=1}a_i<1+\ln \frac{n+2}{3}$． 答案2 略 解析2 设函数$$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x} (x\geqslant 0),$$则$$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0.$$所以，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，故对 $x>0$，有 $f(x)>f(0)=0$，即$$\ln(x+1)>\frac{x}{x+1}.$$令 $x=\frac{1}{i+1}$（$i\in\mathbb{N^{\ast}}$），则$$\frac{1}{i+2}=\frac{\frac{1}{i+1}}{1+\frac{1}{i+1}}<\ln \frac{i+2}{i+1}=\ln(i+2)-\ln(i+1).$$从而，当 $n\geqslant 2$ 时，有$$\sum^n_{i=1}a_i\leqslant a_1+\sum^n_{i=2}\frac{1}{i+2}<a_1+\sum^n_{i=2}(ln(i+2)-\ln(i+1))=a_1+\ln(n+2)-\ln 3<1+\ln\frac{n+2}{3}.$$又当 $n=1$ 时，$a_1<1=1+\ln\frac{1+2}{3}$．故对任意正整数 $n$，都有 $\displaystyle \sum^n_{i=1}a_i<1+\ln\frac{n+2}{3}$． 备注2