已知数列 $\{a_n\}$ 满足$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{1-n}{n+1}a_n+\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} (n\in\mathbb{N^{\ast}}).$$试求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到$$\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}=(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).$$于是，移项得$$a_{n+1}+\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1-n}{n+1}a_n-\frac{(-1)^{n-1}}{n+1}=-\frac{n-1}{n+1}\left(a_n+\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}\right) (n\geqslant 2).$$故$$\prod^{n-1}_{k=2}\left(a_{k+1}+\frac{(-1)^k}{k}\right)=\prod^{n-1}_{k=2}\left(-\frac{k-1}{k+1}\left(a_k+\frac{(-1)^{k-1}}{k-1}\right)\right) (n\geqslant 3).$$则$$\begin{aligned}
a_n+\frac{(-1)^{n-2}}{n-1}&=(-1)^{n-2}\frac{2}{n(n-1)}\left(a_2+\frac{(-1)^{2-1}}{2-1}\right)\\
&=\frac{(-1)^{n-2}}{n(n-1)}(2a_2-2)=\frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)}.\\
\end{aligned}$$故当 $n\geqslant 3$ 时，有$$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)}-\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}=\frac{(-1)^n}{n}.$$此外，$a_2=\frac{1}{2}$ 也满足此公式．因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是$$a_n=\left\{\begin{aligned}
&1,&&n=1,\\
&\frac{(-1)^n}{n}, &&n\geqslant 2.\\
\end{aligned}\right.$$
a_n+\frac{(-1)^{n-2}}{n-1}&=(-1)^{n-2}\frac{2}{n(n-1)}\left(a_2+\frac{(-1)^{2-1}}{2-1}\right)\\
&=\frac{(-1)^{n-2}}{n(n-1)}(2a_2-2)=\frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)}.\\
\end{aligned}$$故当 $n\geqslant 3$ 时，有$$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)}-\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}=\frac{(-1)^n}{n}.$$此外，$a_2=\frac{1}{2}$ 也满足此公式．因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是$$a_n=\left\{\begin{aligned}
&1,&&n=1,\\
&\frac{(-1)^n}{n}, &&n\geqslant 2.\\
\end{aligned}\right.$$
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