设 $\alpha, \beta\in (0,\frac{\pi}{2})$．求$$A=\frac{\left(1-\sqrt{\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}}\right)^2}{\cot\alpha+\cot\beta}$$的最大值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由$$\cot\alpha+\cot\beta=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{2\tan\frac{\alpha}{2}}+\frac{1-\tan^2\frac{\beta}{2}}{2\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{\left(\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\right)\left(1-\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}\right)}{2\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}},$$知$$A=\frac{\left(1-\sqrt{\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}}\right)^2}{\cot\alpha+\cot\beta}=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\tan\frac{\beta}{2}\left(1-\sqrt{\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \tan\frac{\beta}{2}}\right)^2}{\left(\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\right)\left(1-\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\tan\frac{\beta}{2}\right)}.$$令 $\tan\frac{\alpha}{2}=x, \tan\frac{\beta}{2}=y$，则$$A=\frac{2xy(1-\sqrt{xy})}{(x+y)(1+\sqrt{xy})}\leqslant =\frac{2xy(1-\sqrt{xy})}{2\sqrt{xy}(1+\sqrt{xy})}=\frac{\sqrt{xy}{(1-\sqrt{xy})}}{1+\sqrt{xy}}.$$再令 $t=\sqrt{xy}$，则 $t\in(0,1)$，所以$$\begin{aligned}A\leqslant \frac{t(1-t)}{1+t}&=\frac{-t^2+t}{1+t}=\frac{-(t+1)^2+3(t+1)-2}{1+t}=3-\left(t+1+\frac{2}{t+1}\right)\\
&\leqslant 3-2\sqrt{(t+1)\cdot \frac{2}{t+1}}=3-2\sqrt{2}.\\
\end{aligned}$$当且仅当 $t=\sqrt{2}-1$，即 $\tan\frac{\alpha}{2}=\tan\frac{\beta}{2}=\sqrt{2}-1$ 时，上式等号成立．
因此，$A$ 的最大值为 $3-2\sqrt{2}$．
&\leqslant 3-2\sqrt{(t+1)\cdot \frac{2}{t+1}}=3-2\sqrt{2}.\\
\end{aligned}$$当且仅当 $t=\sqrt{2}-1$，即 $\tan\frac{\alpha}{2}=\tan\frac{\beta}{2}=\sqrt{2}-1$ 时，上式等号成立．
因此，$A$ 的最大值为 $3-2\sqrt{2}$．
答案
解析
备注
