题目 已知函数 $f\left(x\right) = 2\sin \omega x$，其中常数 $\omega > 0$． 问题1 若 $y = f\left(x\right)$ 在 $\left[ { - \dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}} \right]$ 上单调递增，求 $\omega $ 的取值范围； 答案1 $ 0<\omega \leqslant \dfrac{3}{4} $ 解析1 因为 $ \omega >0 $，$x \in \left[ { - \dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}} \right]$，所以 $-\dfrac{\mathrm \pi} {4}\omega \leqslant \omega x \leqslant \dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\omega$．<br/>由正弦函数的单调性知\[ \begin{cases}<br/>-\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{4}\omega \geqslant -\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{2}, \\<br/>\dfrac{2\mathrm {\mathrm \pi} }{3}\omega \leqslant \dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{2}, \\<br/>\end{cases} \Rightarrow 0<\omega \leqslant \dfrac{3}{4}. \] 备注1 问题2 令 $\omega = 2$，将函数 $y = f\left(x\right)$ 的图象向左平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图象，区间 $\left[a,b\right]$（$a,b \in {\mathbb {R}}$ 且 $a < b$）满足：$y = g\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上至少含有 $ 30 $ 个零点，在所有满足上述条件的 $\left[a,b\right]$ 中，求 $b - a$ 的最小值． 答案2 $ b-a $ 的最小值为 $ \dfrac{43\mathrm {\mathrm \pi} }{3}$ 解析2 $ f\left(x\right)=2\sin 2x $，由平移变换知\[ \begin{split}g\left(x\right)&=2\sin \left( 2\left( x+\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{6} \right) \right)+1\\&=2\sin \left( 2x+\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{3} \right)+1,\end{split} \]令 $ g\left(x\right)=0$ 得\[x=k{\mathrm {\mathrm \pi} }-\dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{4}或x=k{ \mathrm {\mathrm \pi} }-\dfrac{7}{12}\mathrm {\mathrm \pi} , k \in {\mathbb {Z}}, \]即 $ g\left(x\right) $ 的零点间隔依次为 $ \dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{3}$ 和 $\dfrac{2\mathrm {\mathrm \pi} }{3} $，故若 $ y=g\left(x\right) $ 在 $ \left[a,b\right] $ 上至少含有 $ 30 $ 个零点，则 $ b-a $ 的最小值为\[ 14\times \dfrac{2\mathrm {\mathrm \pi} }{3}+15\times \dfrac{\mathrm {\mathrm \pi} }{3}=\dfrac{43\mathrm {\mathrm \pi} }{3}. \] 备注2