正实数 $x,y,z,w$ 满足 $x\geqslant y\geqslant w$，且 $x+y\leqslant 2\left(w+z\right)$，求 $\frac{w}{x}+\frac{z}{y}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2020年北大强基考试数学回忆
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据排序不等式可得若 $w\leqslant z$，则 $\frac{w}{x}+\frac{z}{y}\geqslant\frac{z}{x}+\frac{w}{y}$．可以交换 $w,z$ 的值．
于是取最小值时一定有 $w\geqslant z$．
我们将 $w,z$ 换为 $y,w+z-y$
$\frac{w}{x}+\frac{z}{y}-\frac{y}{x}-\frac{w+z-y}{y}=\frac{w-y}{x}-\frac{w-y}{y}=\frac{\left(w-y\right)\left(y-x\right)}{xy}\ge0$
故原式 $\geqslant \frac{y}{x}+\frac{w+z-y}{y}\geqslant\frac{y}{x}+\frac{x-y}{2y}\geqslant\sqrt2-\frac12$
取等时 $x=\sqrt2y$，$w=y$，$z=\frac{\sqrt2-1}{2}y$．
于是取最小值时一定有 $w\geqslant z$．
我们将 $w,z$ 换为 $y,w+z-y$
$\frac{w}{x}+\frac{z}{y}-\frac{y}{x}-\frac{w+z-y}{y}=\frac{w-y}{x}-\frac{w-y}{y}=\frac{\left(w-y\right)\left(y-x\right)}{xy}\ge0$
故原式 $\geqslant \frac{y}{x}+\frac{w+z-y}{y}\geqslant\frac{y}{x}+\frac{x-y}{2y}\geqslant\sqrt2-\frac12$
取等时 $x=\sqrt2y$，$w=y$，$z=\frac{\sqrt2-1}{2}y$．
答案
解析
备注
