一个正四棱锥的底面为 $ABCD$，顶点为 $E$，它的八条棱长均为 $4$，一个平面经过棱 $\overline{AE}$，$\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 的中点，此平面截此四棱锥的截面面积可以表示为 $\sqrt{p}$，求 $p$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
80
【解析】
不妨设点 $A$ 的坐标为 $\left( 0,0,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left( 4,0,0\right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left( 4,4,0\right)$，点 $D$ 的坐标 $\left( 0,4,0\right)$，点 $E$ 的坐标为 $\left( 2,2,2\sqrt{2} \right)$ 。 设 $R$，$S$，$T$ 分别为 $AE$，$BC$，$CD$ 的中点，则 $R$，$S$，$T$ 的坐标分别为 $\left( 1,1 ,\sqrt{2} \right)$，$\left(4,2,0 \right)$ 和 $\left( 2,4,0 \right)$ 。易知过点 $R$，$S$，$T$ 的平面的方程为 $x+y+2\sqrt{2}z=6$ 。直线 $BE$ 上点的坐标为 $\left( 4-t,t,t\sqrt{2}\right)$，结合前面的平面方程知这个平面与直线 $BE$ 的交点 $U$ 的坐标为 $\left( \frac{7}{2},\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，同理可知平面与直线 $DE$ 的交点 $V$ 坐标为 $\left( \frac{1}{2} ,\frac{7}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，因此，这个平面截这个四棱锥的截面为五边形 $RUSTV$ 。用坐标易算得 $RU=RV=\sqrt{7}$，$UV=3\sqrt{2}$，故用海伦公式（作底边高亦可）算得三角形 $RUV$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ 。由 $ST=2\sqrt{2}$，$UV=3\sqrt{2}$，$SU=TV=\sqrt{3}$ 可算得梯形 $STVU$ 的面积为 $\frac{5\sqrt{5}}{2}$ 。因此五边形 $RUSTV$ 的面积为 $4\sqrt{5}$，即 $\sqrt{80}$，故 $p=80$ 。
答案
解析
备注
