在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过坐标原点 $O$ 作抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的两条互相垂直的弦 $OA,OB$，再作 $\angle AOB$ 的平分线交 $AB$ 于点 $C$．试求点 $C$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A$ 的坐标为 $(2pt_1^2,2pt_1)$，$B$ 的坐标为 $(2pt_2^2,2pt_2)$（$t_1,t_2\neq 0$），则由 $OA\perp OB$，知$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=4p^2t_1t_2(t_1t_2+1)=0,$$故 $t_1t_2=-1$．
设 $C$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $k_{OC}=\frac{y}{x}$．因为 $OC$ 平分 $\angle AOB$，所以 $\angle AOC=45^{\circ}$．则$$\frac{k_{OA}-k_{OC}}{1+k_{OA}k_{OC}}=\tan 45^{\circ}=1\Rightarrow \frac{\frac{1}{t_1}-\frac{y}{x}}{1+\frac{1}{t_1}\cdot\frac{y}{x}}=1,$$解得 $t_1=\frac{x-y}{x+y}$．
又 $A,C,B$ 三点共线，当 $t_1+t_2\neq 0$，有$$\frac{2pt_1-y}{2pt_1^2-x}=\frac{2pt_1-2pt_2}{2pt_1^2-2pt_2^2}.$$即$$\frac{2pt_1-y}{2pt_1^2-x}=\frac{1}{t_1+t_2}=\frac{t_1}{t_1^2-1},$$化简得$$y(1-t_1^2)-2pt_1+xt_1=0.$$将 $t_1=\frac{x-y}{x+y}$ 代入，并整理得$$x^3+3xy^2-2p(x^2-y^2)=0.~~~~~~ ① $$当 $t_1+t_2=0$ 时，$t_1-\frac{1}{t_1}=0$，得 $t_1^2=1,t_2^2=(-t_1)^2=1$，此时，点 $C(2p,0)$ 满足式 ①．
所以式 ① 即为点 $C$ 的轨迹方程．
设 $C$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $k_{OC}=\frac{y}{x}$．因为 $OC$ 平分 $\angle AOB$，所以 $\angle AOC=45^{\circ}$．则$$\frac{k_{OA}-k_{OC}}{1+k_{OA}k_{OC}}=\tan 45^{\circ}=1\Rightarrow \frac{\frac{1}{t_1}-\frac{y}{x}}{1+\frac{1}{t_1}\cdot\frac{y}{x}}=1,$$解得 $t_1=\frac{x-y}{x+y}$．
又 $A,C,B$ 三点共线，当 $t_1+t_2\neq 0$，有$$\frac{2pt_1-y}{2pt_1^2-x}=\frac{2pt_1-2pt_2}{2pt_1^2-2pt_2^2}.$$即$$\frac{2pt_1-y}{2pt_1^2-x}=\frac{1}{t_1+t_2}=\frac{t_1}{t_1^2-1},$$化简得$$y(1-t_1^2)-2pt_1+xt_1=0.$$将 $t_1=\frac{x-y}{x+y}$ 代入，并整理得$$x^3+3xy^2-2p(x^2-y^2)=0.~~~~~~ ① $$当 $t_1+t_2=0$ 时，$t_1-\frac{1}{t_1}=0$，得 $t_1^2=1,t_2^2=(-t_1)^2=1$，此时，点 $C(2p,0)$ 满足式 ①．
所以式 ① 即为点 $C$ 的轨迹方程．
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