已知关于 $x$ 的四次方程 $x^4-ax^3+bx^2-ax+d=0$（$a,b,d\in\mathbb{R}$）的四个实根 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\left[\frac{1}{2},2\right]$．试对所有这样的四次方程，求 $\frac{(x_1+x_2)(x_1+x_3)x_4}{(x_4+x_2)(x_4+x_3)x_1}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(x)=x^4-ax^3+bx^2-ax+d$，则 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$，于是$$\frac{(x_1+x_2)(x_1+x_3)x_4}{(x_4+x_2)(x_4+x_3)x_1}=\frac{x_4^2}{x_1^2}\cdot\frac{(x_1+x_1)(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)}{(x_4+x_1)(x_4+x_2)(x_4+x_3)(x_4+x_4)}=\frac{x_4^2}{x_1^2}\cdot \frac{f(-x_1)}{f(-x_4)}.~~~~~~ ① $$又易知 $f(-x_1)-f(x_1)=2ax_1^3+2ax_1$，而 $f(x_1)=0$，故 $f(-x_1)=2ax_1^3+2ax_1$．同理，$f(-x_4)=2ax_4^3+2ax_4$．代入 ①，得$$\frac{(x_1+x_2)(x_1+x_3)x_4}{(x_4+x_2)(x_4+x_3)x_1}=\frac{x_4^2}{x_1^2}\cdot \frac{x_1^3+x_1}{x_4^3+x_4}=\frac{x_1+\frac{1}{x_1}}{x_4+\frac{1}{x_4}}.$$注意到 $x+\frac{1}{x}$ 在 $\left[\frac{1}{2},2\right]$ 上的最大值在 $x=\frac{1}{2}$ 或 $2$ 时取到，最小值在 $x=1$ 时取到．因此，上式在 $x_1=2, x_4=1$ 时有最大值 $\frac{5}{4}$．容易验证，$x_1=2, x_2=x_3=\frac{\sqrt{10}-1}{3}, x_4=1$ 满足条件，且所求表达式取到最大值 $\frac{5}{4}$．
答案
解析
备注
