试求最小的正实数 $r$，使得存在正实数数列 $\{a_n\}$，满足对任意正整数 $n$，都有$$a_1+a_2+\ldots+a_{n+1}\leqslant ra_n.$$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $r=4$ 时，取 $a_n=2^n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$），则对任意正整数 $n$，有$$2^1+2^2+\ldots+2^{n+1}=2^{n+2}-2\leqslant 4\times 2^n,$$满足条件．
以下证明 $r\geqslant 4$．
设 $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$，则对 $n\geqslant 2$，有$$\begin{aligned}
S_{n+1}\leqslant r(S_n-S_{n-1})&\Rightarrow S_n\geqslant S_{n-1}+\frac{1}{r}S_{n+1}\geqslant \frac{2}{\sqrt{r}}\cdot \sqrt{S_{n+1}S_{n-1}}\\
&\Rightarrow S_n^2\geqslant \frac{4}{r}\cdot S_{n+1}S_{n-1}\\
&\Rightarrow \frac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \frac{r}{4}\cdot \frac{S_n}{S_{n-1}}.\\
\end{aligned}$$假设 $0<r<4$，则 $0<\frac{r}{4}<1$．于是，对任意正整数 $n$，都有$$\frac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \frac{r}{4}\cdot \frac{S_n}{S_{n-1}}\leqslant \ldots \leqslant \left(\frac{r}{4}\right)^{n-1}\frac{S_2}{S_1}$$因此，$$1\leqslant \lim_{n\to+\infty}\left(\left(\frac{r}{4}\right)^{n-1}\frac{S_2}{S_1}\right)=0.$$矛盾．故 $r\geqslant 4$．
综上可知，$r$ 的最小值为 $4$．
以下证明 $r\geqslant 4$．
设 $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$，则对 $n\geqslant 2$，有$$\begin{aligned}
S_{n+1}\leqslant r(S_n-S_{n-1})&\Rightarrow S_n\geqslant S_{n-1}+\frac{1}{r}S_{n+1}\geqslant \frac{2}{\sqrt{r}}\cdot \sqrt{S_{n+1}S_{n-1}}\\
&\Rightarrow S_n^2\geqslant \frac{4}{r}\cdot S_{n+1}S_{n-1}\\
&\Rightarrow \frac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \frac{r}{4}\cdot \frac{S_n}{S_{n-1}}.\\
\end{aligned}$$假设 $0<r<4$，则 $0<\frac{r}{4}<1$．于是，对任意正整数 $n$，都有$$\frac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \frac{r}{4}\cdot \frac{S_n}{S_{n-1}}\leqslant \ldots \leqslant \left(\frac{r}{4}\right)^{n-1}\frac{S_2}{S_1}$$因此，$$1\leqslant \lim_{n\to+\infty}\left(\left(\frac{r}{4}\right)^{n-1}\frac{S_2}{S_1}\right)=0.$$矛盾．故 $r\geqslant 4$．
综上可知，$r$ 的最小值为 $4$．
答案
解析
备注
