已知实数 $a,b,c$ 满足：$b,c$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+(a-3)x+a^2-3a=0$ 的两个实根．试求 $a^3+b^3+c^3$ 的最小可能值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $\triangle=(a-3)^2-4(a^2-3a)\geqslant 0$，知 $-1\leqslant a\leqslant 3$．由韦达定理，知 $a+b+c=3, bc=a^2-3a$．则$$a^2+b^2+c^2=a^2+(b+c)^2-2bc=a^2+(3-a)^2-2(a^2-3a)=9.$$从而，$$\begin{aligned}
a^3+b^3+c^3&=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a(b+c)-bc)\\
&=3a(a^2-3a)+3(9-a(3-a)-(a^2-3a))\\
&=3a^3-9a^2+27.\\
\end{aligned}$$设 $f(a)=3a^3-9a^2+27$，求导得 $f'(a)=9a^2-18a=9a(a-2)$．故 $f(a)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,3)$ 上单调递增．于是，$f(a)$ 在 $[-1,3]$ 上的最小值为 $\min\{f(-1),f(2)\}=15$．当 $a=2,b=2,c=-1$ 时，$a^3+b^3+c^3=15$ 且满足题意．因此，$a^3+b^3+c^3$ 的最小值为 $15$．
a^3+b^3+c^3&=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a(b+c)-bc)\\
&=3a(a^2-3a)+3(9-a(3-a)-(a^2-3a))\\
&=3a^3-9a^2+27.\\
\end{aligned}$$设 $f(a)=3a^3-9a^2+27$，求导得 $f'(a)=9a^2-18a=9a(a-2)$．故 $f(a)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,3)$ 上单调递增．于是，$f(a)$ 在 $[-1,3]$ 上的最小值为 $\min\{f(-1),f(2)\}=15$．当 $a=2,b=2,c=-1$ 时，$a^3+b^3+c^3=15$ 且满足题意．因此，$a^3+b^3+c^3$ 的最小值为 $15$．
答案
解析
备注
