过椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点作两条互相垂直的弦 $AC$ 和 $BD$．已知四边形 $ABCD$ 的面积的取值范围是 $\left[8,\frac{25}{2}\right]$，试求椭圆的方程．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $AC$ 的倾斜角为 $\theta$，斜率为 $k$，则 $k=\tan\theta$，直线 $AC$ 的方程为 $y=k(x-c)$．
由$$\left\{\begin{aligned}
&y=k(x-c),\\
&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\\
\end{aligned}\right.$$消去 $y$，整理得$$(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2k^2cx+a^2(k^2c^2-b^2)=0.$$设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$C$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$，根据韦达定理，得$$x_1+x_2=\frac{2a^2k^2c}{a^2k^2+b^2}, x_1x_2=\frac{a^2(k^2c^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}.$$于是$$\begin{aligned}
|AC|&=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\
&=\frac{\sqrt{1+k^2}}{a^2k^2+b^2}\cdot\sqrt{(2a^2k^2c)^2-4a^2(k^2c^2-b^2)(a^2k^2+b^2)}\\
&=\frac{\sqrt{1+k^2}}{a^2k^2+b^2}\cdot 2ab\cdot \sqrt{b^2+k^2(a^2-c^2)}\\
&=\frac{2ab^2(1+k^2)}{a^2k^2+b^2}=\frac{2ab^2(1+\tan^2\theta)}{a^2\tan^2\theta+b^2}\\
&=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}.\\
\end{aligned}$$易知直线 $BD$ 的方程为 $y=-\frac{1}{k}(x-c)$，则类似可求得 $|BD|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\sin^2\theta}$．
由于 $AC\perp BD$，因此，$$\begin{aligned}
S&=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\frac{2a^2b^4}{(a^2-c^2\cos^2\theta)(a^2-c^2\sin^2\theta)}\\
&=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2+c^4\sin^2\theta\cos^2\theta}\\
&=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2+\frac{1}{4}c^4\sin^22\theta}.\\
\end{aligned}$$由 $\sin2\theta\in[0,1]$，得$$S_{max}=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2}=2b^2=\frac{25}{2}.$$$$S_{min}=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2+\frac{1}{4}c^4}=\frac{8a^2b^4}{(a^2+b^2)^2}=8.$$解得 $a^2=25, b^2=\frac{25}{4}$．从而，所求椭圆方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{4y^2}{25}=1$．
由$$\left\{\begin{aligned}
&y=k(x-c),\\
&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\\
\end{aligned}\right.$$消去 $y$，整理得$$(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2k^2cx+a^2(k^2c^2-b^2)=0.$$设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$C$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$，根据韦达定理，得$$x_1+x_2=\frac{2a^2k^2c}{a^2k^2+b^2}, x_1x_2=\frac{a^2(k^2c^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}.$$于是$$\begin{aligned}
|AC|&=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\
&=\frac{\sqrt{1+k^2}}{a^2k^2+b^2}\cdot\sqrt{(2a^2k^2c)^2-4a^2(k^2c^2-b^2)(a^2k^2+b^2)}\\
&=\frac{\sqrt{1+k^2}}{a^2k^2+b^2}\cdot 2ab\cdot \sqrt{b^2+k^2(a^2-c^2)}\\
&=\frac{2ab^2(1+k^2)}{a^2k^2+b^2}=\frac{2ab^2(1+\tan^2\theta)}{a^2\tan^2\theta+b^2}\\
&=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}.\\
\end{aligned}$$易知直线 $BD$ 的方程为 $y=-\frac{1}{k}(x-c)$，则类似可求得 $|BD|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\sin^2\theta}$．
由于 $AC\perp BD$，因此，$$\begin{aligned}
S&=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\frac{2a^2b^4}{(a^2-c^2\cos^2\theta)(a^2-c^2\sin^2\theta)}\\
&=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2+c^4\sin^2\theta\cos^2\theta}\\
&=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2+\frac{1}{4}c^4\sin^22\theta}.\\
\end{aligned}$$由 $\sin2\theta\in[0,1]$，得$$S_{max}=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2}=2b^2=\frac{25}{2}.$$$$S_{min}=\frac{2a^2b^4}{a^4-a^2c^2+\frac{1}{4}c^4}=\frac{8a^2b^4}{(a^2+b^2)^2}=8.$$解得 $a^2=25, b^2=\frac{25}{4}$．从而，所求椭圆方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{4y^2}{25}=1$．
答案
解析
备注
