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给定一个凸四边形 $ABCD$，记 $\triangle BCD, \triangle CDA, \triangle DAB, \triangle ABC$ 的面积分别为 $S_A,S_B,S_C,S_D$．试在四边形 $ABCD$ 所在的平面上确定所有的点 $P$，使得$$S_A\cdot \overrightarrow{PA}+S_B\cdot \overrightarrow{PB}+S_C\cdot \overrightarrow{PC}+S_D\cdot \overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}.$$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(6)
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
【答案】
略
【解析】
注意到四边形 $ABCD$ 的面积 $S=S_A+S_C
=S_B+S_D$．记四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，点 $A,C$ 到直线 $BD$ 的距离分别为 $h_A,h_C$，于是，由 $\angle AOB=\angle COD$，可知$$\frac{h_A}{|\overrightarrow{OA}|}=\frac{h_C}{\overrightarrow{OC}},$$又 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}$ 是直线 $AC$ 上两个方向不同的向量，故$$h_A\cdot \overrightarrow{OC}+h_C\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}.$$将 $2S_A=BD\cdot h_C, 2S_C=BD\cdot h_A$ 代入，得$$S_C\cdot \overrightarrow{OC}+S_A\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}.$$因此，对平面上任意一点 $P$，有$$S_A\cdot \overrightarrow{PA}+S_C\cdot \overrightarrow{PC}=-S\cdot \overrightarrow{OP}.$$类似地，有$$S_B\cdot \overrightarrow{PB}+S_D\cdot \overrightarrow{PD}=-S\cdot \overrightarrow{OP}.$$因此，对平面上的任意一点 $P$，都有$$S_A\cdot \overrightarrow{PA}+S_B\cdot \overrightarrow{PB}+S_C\cdot \overrightarrow{PC}+S_D\cdot\overrightarrow{PD}=-2S\cdot \overrightarrow{OP}.$$由四边形 $ABCD$ 是凸四边形，知 $S>0$．因此，平面上满足条件的 $P$ 只有对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点．
答案 解析 备注
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