已知多项式 $P(x)=1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^2$，定义$$Q(x)=P(x)P(x^3)P(x^5)P(x^7)P(x^9)=\sum _{i=0}^{50}a_ix^i.$$设 $\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{50}|a_i|=\dfrac{m}{n} $，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$275$
【解析】
由题设可得 $\displaystyle Q(x)=(1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^2)(1-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{6}x^6)(1-\dfrac{1}{3}x^5+\dfrac{1}{6}x^10)(1-\dfrac{1}{3}x^7+\dfrac{1}{6}x^14)(1-\dfrac{1}{3}x^9+\dfrac{1}{6}x^18)=\sum _{i=0}^{50}a_ix^i.$
再设 $\displaystyle R(x)=(1+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^2)(1+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{6}x^6)(1+\dfrac{1}{3}x^5+\dfrac{1}{6}x^10)(1+\dfrac{1}{3}x^7+\dfrac{1}{6}x^14)(1+\dfrac{1}{3}x^9+\dfrac{1}{6}x^18)=\sum _{i=0}^{50}b_ix^i.$
由多项式得乘法法则，可得 $b_i>0,i=1,2,\cdots,50$，所以$$\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{50}|a_i|=\sum \limits_{i=0}^{50}b_i=R\left(1\right)=Q\left(-1\right)=\frac{3}{2}^5=\frac{243}{32}=\frac{m}{n}$$．故 $m+n=275$ 。
再设 $\displaystyle R(x)=(1+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^2)(1+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{6}x^6)(1+\dfrac{1}{3}x^5+\dfrac{1}{6}x^10)(1+\dfrac{1}{3}x^7+\dfrac{1}{6}x^14)(1+\dfrac{1}{3}x^9+\dfrac{1}{6}x^18)=\sum _{i=0}^{50}b_ix^i.$
由多项式得乘法法则，可得 $b_i>0,i=1,2,\cdots,50$，所以$$\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{50}|a_i|=\sum \limits_{i=0}^{50}b_i=R\left(1\right)=Q\left(-1\right)=\frac{3}{2}^5=\frac{243}{32}=\frac{m}{n}$$．故 $m+n=275$ 。
答案
解析
备注
