设 $a,b,c$ 为实数，方程$$x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$$有一个形如 $\alpha+\beta i$（$\alpha>0, \beta\neq 0, \beta\in \mathbb{R}$）的虚根．证明：
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
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$a,b,c$ 都是正实数；标注答案略解析将原方程标记为式 ①．由虚根成对定理，知 $\alpha-\beta i$ 也是方程 ① 的根，于是$$\left\{\begin{aligned}
&a+b+c=2\alpha,\\
&ab+bc+ca=\alpha^2+\beta^2.\\
\end{aligned}\right.$$不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则 $c=2\alpha-(a+b)$，令 $a+b=u$，则$$\alpha^2+\beta^2=ab+u(2\alpha-u)\leqslant \frac{1}{4}u^2+u(2\alpha-u).$$于是$$-\frac{3}{4}+2\alpha u>\alpha^2.$$解这个不等式，可知 $\frac{2}{3}\alpha<u<2\alpha$，从而 $c=2\alpha-(a+b)>0$．所以 $a,b,c$ 都是正数． -
存在一个以 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 为边长的三角形．标注答案略解析利用前面的假设，我们只需要证明 $\sqrt{a}<\sqrt{b}+\sqrt{c}$．
由条件可知$$a(b+c)+bc=\alpha^2+\beta^2>\alpha^2=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2,$$即$$(a+b+c)^2-4a(b+c)<4bc,$$亦即$$a^2-2(b+c)a+(b-c)^2<0.$$从而，由求根公式，可知$$a<(b+c)+\sqrt{(b+c)^2-(b-c)^2}=b+c+2\sqrt{bc}=(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2.$$所以存在一个以 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 为边长的三角形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
