给定正整数 $n$．抛掷一枚均匀的硬币 $n$ 次，并将结果记录为一个由 $0$ 和 $1$ 组成的数列（即若第 $i$ 次抛掷结果是正面向上，则令数列第 $i$ 项等于 $1$，否则令其等于 $0$）．如果该数列中连续若干项（允许只有一项）都是同一个数，则称这些项为一段，其项数就是该段的长度．如果某一段后没有紧跟一段长度更长的段，则称其为好段．设好段的数目为随机变量 $X_n$，试求 $X_n$ 的数学期望（均值）．例如，数列 $1,0,0,1,1,0,1,1,1,0$ 共有 $6$ 段，每一段的长度分别为 $1,2,2,1,3,1$，其中第 $2,3,5,6$ 段后没有紧跟长度更长的段，故在该数列中，有 $X_{10}=4$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(3)
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑这样的 $n$ 项数列，它的第 $1$ 段和第 $2$ 段长度相等．若将该数列的首项删去，则好段的数目减少 $1$．当若前两段的长度不相等，则删去首项后不改变好段的数目．对于 $n$ 项的数列，设前两段长度相等的概率为 $p_n$，则$$E(X_n)=(E(X_{n-1}+1)\cdot p_n+E(X_{n-1})\cdot (1-p_n)=E(X_{n-1})+p_n.$$注意到 $p_1=0, E(X_1)=1$，递推可知$$E(X_n)=1+\sum^n_{k=1}p_k.$$下面计算 $p_k$．
当 $k$ 是奇数时，假设 $k$ 项数列前两段的长度均为 $i$，则 $1\leqslant i\leqslant \frac{k-1}{2}$，其概率为 $2\cdot \frac{1}{2^i}\cdot \frac{1}{2^i}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2^{2i}}$．故$$p_k=\sum^{\frac{k-1}{2}}_{i=1}\frac{1}{2^{2i}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2^{k-1}}\right).$$当 $k$ 为偶数时，假设 $k$ 项数列前两段的长度均为 $i$，则 $1\leqslant i\leqslant \frac{k}{2}$．若 $1\leqslant i\leqslant \frac{k}{2}-1$，类似奇数的情形可知其概率为 $\frac{1}{2^{2i}}$．若 $i=\frac{k}{2}$，其概率为 $2\cdot \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}=\frac{1}{2^{k-1}}$．因此$$p_k=\frac{1}{2^{k-1}}+\sum^{\frac{k}{2}-1}_{i=1}\frac{1}{2^{2i}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2^{k-1}}\right).$$综上可知，对 $1\leqslant k\leqslant n$，都有 $p_k=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^k$．代入式 ①，求和可得$$E(X_n)=\frac{n}{3}+\frac{7}{9}+\frac{2}{9}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$$
当 $k$ 是奇数时，假设 $k$ 项数列前两段的长度均为 $i$，则 $1\leqslant i\leqslant \frac{k-1}{2}$，其概率为 $2\cdot \frac{1}{2^i}\cdot \frac{1}{2^i}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2^{2i}}$．故$$p_k=\sum^{\frac{k-1}{2}}_{i=1}\frac{1}{2^{2i}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2^{k-1}}\right).$$当 $k$ 为偶数时，假设 $k$ 项数列前两段的长度均为 $i$，则 $1\leqslant i\leqslant \frac{k}{2}$．若 $1\leqslant i\leqslant \frac{k}{2}-1$，类似奇数的情形可知其概率为 $\frac{1}{2^{2i}}$．若 $i=\frac{k}{2}$，其概率为 $2\cdot \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}}=\frac{1}{2^{k-1}}$．因此$$p_k=\frac{1}{2^{k-1}}+\sum^{\frac{k}{2}-1}_{i=1}\frac{1}{2^{2i}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2^{k-1}}\right).$$综上可知，对 $1\leqslant k\leqslant n$，都有 $p_k=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^k$．代入式 ①，求和可得$$E(X_n)=\frac{n}{3}+\frac{7}{9}+\frac{2}{9}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$$
答案
解析
备注
