已知二次函数 $f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$（$a,b\in\mathbb{R},a\neq 0$）在 $[3,4]$ 上至少有一个零点，求 $a^2+b^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
【答案】
略
【解析】
（法一）由已知得，设 $t$ 为 $f(x)$ 在 $[3,4]$ 上的零点，则$$at^2+(2b+1)t-a-2=0, ~~~~~ ① $$于是$$(2-t)^2=(a(t^2-1)+2bt)^2\leqslant (a^2+b^2)((t^2-1)^2+4t^2)=(a^2+b^2)(1+t^2)^2,$$从而$$a^2+b^2\geqslant\left(\frac{t-2}{1+t^2}\right)^2=\frac{1}{\left(t-2+\frac{5}{t-2}+4\right)^2}\geqslant \frac{1}{100}.$$上式用到了函数 $g(t)=t-2+\frac{5}{t-2}$ 在 $[3,4]$ 上式减函数．上式在 $t=3, a=-\frac{2}{25}, b=-\frac{3}{50}$ 时取到等号，故 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\frac{1}{100}$．
（法二）将式 ① 看成关于 $a,b$ 的直线方程：$$(t^2-1)a+2tb+t-2=0,$$由直线上一点 $(a,b)$ 到原点的距离不小于原点到直线的距离，得$$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \frac{|t-2|}{\sqrt{(t^2-1)^2+(2t)^2}}.$$以下同法一．
（法二）将式 ① 看成关于 $a,b$ 的直线方程：$$(t^2-1)a+2tb+t-2=0,$$由直线上一点 $(a,b)$ 到原点的距离不小于原点到直线的距离，得$$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \frac{|t-2|}{\sqrt{(t^2-1)^2+(2t)^2}}.$$以下同法一．
答案
解析
备注
