已知椭圆 $\Gamma: 3x^2+4y^2=12$ 和点 $Q(q,0)$，直线 $l$ 过 $Q$ 且与 $\Gamma$ 交于 $A,B$ 两点（可以重合）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
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若 $\angle AOB$ 为钝角或平角（$O$ 为坐标原点），$q=4$，试确定 $l$ 的斜率的取值范围．标注答案略解析可设 $l:x=my+4$，与 $\Gamma$ 联立，消去 $x$ 整理得$$(3m^2+4)y^2+24my+36=0,$$这是关于 $y$ 的一元二次方程，由判别式 $\triangle \geqslant 0$，解得 $m^2\geqslant 4$．设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$ B $ 的坐标为 $(x_2,y_2)$，则$$y_1+y_2=\frac{-24m}{3m^2+4}, y_1y_2=\frac{36}{3m^2+4}.$$由题设条件，$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2<0 $，即$$\begin{aligned}
&(my_1+4)(my_2+4)+y_1y_2<0\\
&\Rightarrow (m^2+1)y_1y_2+4m(y_1+y_2)+16<0\\
&\Rightarrow (m^2+1)\cdot \frac{36}{3m^2+4}+4m\cdot \frac{-24m}{3m^2+4}+16<0\\
&\Rightarrow 9(m^2+1)-24m^2+4(3m^2+4)<0\\
&\Rightarrow -3m^2+25<0\Rightarrow \left(\frac{1}{m}\right)^2<\frac{3}{25}\\
&\Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{5}<\frac{1}{m}<\frac{\sqrt{3}}{5},\\
\end{aligned}$$故直线 $ l $ 的斜率的取值范围是 $ \left(-\frac{\sqrt{3}}{5},\frac{\sqrt{3}}{5}\right)$． -
设 $A$ 关于长轴的对称点为 $A_1$，$F$ 为椭圆的右焦点．证明：$A_1,F,B$ 三点共线的充要条件是 $q=4$．标注答案略解析充分性．由 $F$ 的坐标为 $(1,0)$，得 $\overrightarrow{FA_1}=(x_1-1,-y_1), \overrightarrow{FB}=(x_2-1,y_2)$，从而$$\begin{aligned}
&(x_1-1)y_2-(x_2-1)(-y_1)=(my_1+3)y_2+(my_2+3)y_1\\
&\Rightarrow 2my_1y_2+3(y_1+y_2)=2m\cdot\frac{36}{3m^2+4}+3\cdot \frac{-24m}{3m^2+4}=0.\\
\end{aligned}$$故 $\overrightarrow{FA_1}$ 与 $\overrightarrow{FB}$ 共线，即 $A_1,F,B$ 三点共线．
必要性 假设 $q\neq 4$，过 $Q(q,0)$ 的直线与 $\Gamma$ 交于 $A,B$，且 $A$ 关于长轴的对称点为 $A_1$．如果 $A_1,F,B$ 三点共线，另取点 $P(4,0)$，设直线 $AP$ 与 $\Gamma$ 交于 $B_1$，那么如充分性的证明可知，$A_1,F, B_1$ 三点共线，故 $B$ 与 $B_1$ 重合，从而直线 $AB$ 与 $AB_1$ 重合，即 $AQ$ 与 $AP$ 重合，以及 $Q$ 与 $P$ 重合，$q=4$．与假设矛盾．因此，当 $q\neq 4$ 时，$A_1,F,B$ 三点不共线．换言之，若 $A_1,F,B$ 三点共线，则 $q=4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
