设非负实数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 满足 $a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2=n$，求证：$\displaystyle \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{a_i^2+1}\leqslant \frac{n^2}{2(\sum^{n}_{i=1}a_i)^2}.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式$$\frac{a_1^2}{a_1^2+a_1^2}+\frac{a_2^2}{a_1^2+a_2^2}+\frac{a_3^2}{a_1^2+a_3^2}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_1^2+a_n^2}
\geqslant \frac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{na_1^2+(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)}=\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)^2}{na_1^2+n}.$$将上式中的 $a_1$ 换成 $a_k$，这样的 $n$ 个式子相加，得$$\begin{aligned}
&\frac{n}{2}+C_n^2\geqslant \sum^n_{i=1}\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)^2}{na_i^2+n},\\
&\frac{n^2}{2}\geqslant \sum^n_{i=1}\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)^2}{na_i^2+n},\\
\end{aligned}$$即 $\displaystyle \frac{n^3}{2(\sum^n_{i=1}a_i)^2}\geqslant \sum^n_{i=1}\frac{1}{a_i^2+1}$．
\geqslant \frac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{na_1^2+(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)}=\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)^2}{na_1^2+n}.$$将上式中的 $a_1$ 换成 $a_k$，这样的 $n$ 个式子相加，得$$\begin{aligned}
&\frac{n}{2}+C_n^2\geqslant \sum^n_{i=1}\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)^2}{na_i^2+n},\\
&\frac{n^2}{2}\geqslant \sum^n_{i=1}\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)^2}{na_i^2+n},\\
\end{aligned}$$即 $\displaystyle \frac{n^3}{2(\sum^n_{i=1}a_i)^2}\geqslant \sum^n_{i=1}\frac{1}{a_i^2+1}$．
答案
解析
备注
