已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^2-x+3,&x\leqslant1\\x+\dfrac2x,&x>1\end{cases}$，设 $a\in\mathbb R$，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\geqslant\left|\dfrac{x}{2}+a\right|$ 在 $\mathbb R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[\forall x\in\mathbb R,-f(x)-\dfrac x2\leqslant a\leqslant f(x)-\dfrac x2,\]因此只需要计算函数 $g(x)=-f(x)-\dfrac x2$ 在 $\mathbb R$ 上的最大值和函数 $h(x)=f(x)-\dfrac x2$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值即可．函数 $g(x)$即\[g(x)=\begin{cases}-x^2+\dfrac x2-3,&x\leqslant 1,\\ -\dfrac 32x-\dfrac 2x,& x>1,\end{cases}\]其最大值为\[\max\{g(x)\}=\max\left\{-\dfrac{47}{16},-2\sqrt{3}\right\}=-\dfrac{47}{16}.\]函数 $h(x)$ 即\[h(x)=\begin{cases} x^2-\dfrac 32x+3,&x\leqslant 1,\\ \dfrac x2+\dfrac 2x,& x>1,\end{cases}\]其最小值为\[\min\{h(x)\}=\min\left\{\dfrac{39}{16},2\right\}=2.\]因此所求的取值范围是 $\left[-\dfrac{47}{16},2\right]$．
题目
答案
解析
备注
