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在 $\triangle{ABC}$ 中，$\angle{BCA}=90^{\circ}$，则有 $AC^2+BC^2=AB^2$；类比到三维空间中，你能得到什么结论？请给出证明；
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    类比
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的垂直关系
    >
    三垂线定理
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    类比
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间组合体
    >
    空间几何体的接切
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的距离
    >
    点面距离
【答案】
结论：设四面体 $S-ABC$ 中，侧棱 $SA,SB,SC$ 两两垂直，则$$S_{\triangle{ABC}}^2=S_{\triangle{SBC}}^2+S_{\triangle{SBA}}^2+S_{\triangle{SAC}}^2.$$证明略
【解析】
结论设四面体 $S-ABC$ 中，侧棱 $SA,SB,SC$ 两两垂直（不妨称为空间直角四面体），则$$S_{\triangle{ABC}}^2=S_{\triangle{SBC}}^2+S_{\triangle{SBA}}^2+S_{\triangle{SAC}}^2.$$证明设 $SA=a$，$SB=b$，$SC=c$，过 $S$ 作 $SD\perp BC$ 于 $D$，连结 $AD$，由三垂线定理知：$$AD\perp BC.$$因此\[\begin{split}S_{\triangle{ABC}}^2&=\left(\dfrac 12BC\cdot AD\right)^2\\&=\dfrac 14(b^2+c^2)\cdot (SD^2+a^2)\\&=\dfrac 14(b^2+c^2)\left(\dfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}+a^2\right)\\&=\dfrac 14(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\&=S_{\triangle{SBC}}^2+S_{\triangle{SBA}}^2+S_{\triangle{SAC}}^2,\end{split}\]得证．
答案 解析 备注
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