已知等轴双曲线 $C:x^2-y^2=a^2$（$a>0$）上一定点 $P(x_0,y_0)$ 及双曲线 $C$ 上两动点 $A,B$ 满足 $(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})=0$．（其中 $O$ 为坐标原点）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(3)
【标注】
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证明：$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP})=0$；标注答案略解析设 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$，$B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$，则$$x_1^2-y_1^2=a^2,~~~~~ ① $$$$x_2^2-y_2^2=a^2,~~~~~ ② $$$$x_0^2-y_0^2=a^2,~~~~~ ③ $$③ - ①，得$$(x_0+x_1)(x_0-x_1)=(y_0-y_1)(y_0+y_1).~~~~ ④ $$③ - ②，得$$(x_0+x_2)(x_0-x_2)=(y_0-y_2)(y_0+y_2).~~~~~ ⑤ $$由 $(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})=0$，得$$(x_1-x_0)(x_2-x_0)+(y_1-y_0)(y_2-y_0)=0.~~~~~ ⑥ $$④ $\times$ ⑤ 并与式 ⑥ 比较，得$$(x_1+x_0)(x_2+x_0)+(y_1+y_0)(y_2+y_0)=0,$$即 $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP})=0$．
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求 $|\overrightarrow{AB}|$ 的最小值．标注答案略解析如图所示，分别取 $PA, PB$ 的中点 $M,N$，则$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}), \overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}),$$则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=0$，即 $\overrightarrow{OM}\perp \overrightarrow{ON}$．
又由 $(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})=0$，得 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，即 $PA\perp PB$．于是，点 $O, M,P,N$ 都在以 $MN$ 为直径的圆上．从而，$|OP|=|MN|\sin\angle OMP$，则$$|MN|=\frac{|OP|}{\sin\angle OMP}\geqslant |OP|=\sqrt{x_0^2+y_0^2},$$其中等号当且仅当 $\angle OMP=90^{\circ}$ 时成立．
又易知 $|AB|=2|MN|$，所以 $|AB|$ 的最小值是 $2\sqrt{x_0^2+y_0^2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
