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已知函数 $f(x)=3^x-\left(\dfrac 13\right)^x$，则 $f(x)$  \((\qquad)\)
A: 是奇函数，且在 $\mathbb R$ 上是增函数
B: 是偶函数，且在 $\mathbb R$ 上是增函数
C: 是奇函数，且在 $\mathbb R$ 上是减函数
D: 是偶函数，且在 $\mathbb R$ 上是减函数
【难度】
【出处】
2017年高考北京卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    指数函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 题型
    >
    函数
【答案】
A
【解析】
因为 $f(x)$ 定义域为 $\mathbb R$，且 $f(-x)=3^{-x}-\left(\dfrac 13\right)^{-x}=\left(\dfrac 13\right)^x-3^x=-f(x)$，所以 $f(x)$ 为奇函数；
又因为 $y=3^x$ 和 $y=-\left(\dfrac 13\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上均为增函数，所以 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数．
题目 答案 解析 备注
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