根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 $M$ 约为 $3^{361}$，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 $N$ 约为 $10^{80}$，则下列各数中与 $\dfrac MN$ 最接近的是 \((\qquad)\)
（参考数据：$\lg 3\approx 0.48$）
（参考数据：$\lg 3\approx 0.48$）
【难度】
【出处】
2017年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
D
【解析】
考虑到\[M\approx 3^{361}=10^{361\lg 3}\approx 10^{173.28} \approx N\cdot 10^{93.28},\]因此选项D符合题意．
事实上，有\[10^{93}-\dfrac{3^{361}}{10^{80}}>\dfrac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73}>0,\]因此在“精确”的数值上，$\dfrac MN$ 更接近 $10^{73}$．但在实际生活中，在估算很大的数的时往往估计其数量级（否则有效数字稍有变动，得到的结果就会产生很大波动），而且即便是估计数量级，得到的结果往往仍有很大误差．
{\color{cyan}注\qquad} 上述不等式的证明如下．首先，计算 $3$ 的方幂\[\begin{matrix}
n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 \\
\hline
3^n & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & 2187 &6561 &19683 &59049\\
\end{matrix}\]这个表可以用来估算 $\lg 3$，比如从表中有\[10^4<3^{10}<10^5,\]于是有\[0.4=\dfrac{4}{10}<\lg 3<0.5<\dfrac{5}{10},\]类似的，还可得到\[0.45=\dfrac{9}{20}<\lg 3<\dfrac{10}{20}=0.5\]这样就证明了 $\lg 3>0.45>\dfrac{153}{361}$，即 $\dfrac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73}>0$．
接下来证明\[10^{93}-\dfrac{3^{361}}{10^{80}}>\dfrac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73},\]即\[10^{173}+10^{153}>2\cdot 3^{361},\]也即\[3^{361}<2^{172}\cdot 5^{173}+2^{152}\cdot 5^{153}.\]注意到 $3^9<2\cdot 10^4=2^5\cdot 5^4$，于是\[\dfrac{2^{172}\cdot 5^{173}}{3^{361}}>\dfrac{2^{172}\cdot 5^{173}}{3\cdot 2^{200}\cdot 5^{160}}=\dfrac{5^{13}}{3\cdot 2^{28}}=\left(\dfrac{625}{512}\right)^3\cdot \dfrac 56>\left(\dfrac 65\right)^3\cdot \dfrac 56>1,\]因此不等式得证．
事实上，有\[10^{93}-\dfrac{3^{361}}{10^{80}}>\dfrac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73}>0,\]因此在“精确”的数值上，$\dfrac MN$ 更接近 $10^{73}$．但在实际生活中，在估算很大的数的时往往估计其数量级（否则有效数字稍有变动，得到的结果就会产生很大波动），而且即便是估计数量级，得到的结果往往仍有很大误差．
{\color{cyan}注\qquad} 上述不等式的证明如下．首先，计算 $3$ 的方幂\[\begin{matrix}
n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 \\
\hline
3^n & 9 & 27 & 81 & 243 & 729 & 2187 &6561 &19683 &59049\\
\end{matrix}\]这个表可以用来估算 $\lg 3$，比如从表中有\[10^4<3^{10}<10^5,\]于是有\[0.4=\dfrac{4}{10}<\lg 3<0.5<\dfrac{5}{10},\]类似的，还可得到\[0.45=\dfrac{9}{20}<\lg 3<\dfrac{10}{20}=0.5\]这样就证明了 $\lg 3>0.45>\dfrac{153}{361}$，即 $\dfrac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73}>0$．
接下来证明\[10^{93}-\dfrac{3^{361}}{10^{80}}>\dfrac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73},\]即\[10^{173}+10^{153}>2\cdot 3^{361},\]也即\[3^{361}<2^{172}\cdot 5^{173}+2^{152}\cdot 5^{153}.\]注意到 $3^9<2\cdot 10^4=2^5\cdot 5^4$，于是\[\dfrac{2^{172}\cdot 5^{173}}{3^{361}}>\dfrac{2^{172}\cdot 5^{173}}{3\cdot 2^{200}\cdot 5^{160}}=\dfrac{5^{13}}{3\cdot 2^{28}}=\left(\dfrac{625}{512}\right)^3\cdot \dfrac 56>\left(\dfrac 65\right)^3\cdot \dfrac 56>1,\]因此不等式得证．
题目
答案
解析
备注
