设实数 $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$．证明：$0< \sin\theta+\cos\theta+\tan\theta+\cot\theta-\sec\theta-csc\theta<1$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(18)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\cos\theta=x, \sin\theta=y$，则 $0<x,y<1, x^2+y^2=1$．于是，$x+y>\sqrt{x^2+y^2}=1, 1\geqslant 2xy\Rightarrow \frac{1}{xy}\geqslant 2>1$．从而$$\cos\theta+\tan\theta-\sec\theta=x+\frac{y}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x^2+y-(x^2+y^2)}{x}>0,\\
\sin\theta+\cot\theta-csc\theta=y+\frac{x}{y}-\frac{1}{y}=\frac{y^2+x-(x^2+y^2)}{y}>0.$$两式相加得$$\sin\theta+\cos\theta+\tan\theta+\cot\theta -\sec\theta-csc\theta >0.$$又$$\begin{aligned}
&\sin\theta+\cos\theta+\tan\theta+\cot\theta-\sec\theta-csc\theta-1\\
&=y+x+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-1\\
&=x+y+\frac{1}{xy}-\frac{x+y}{xy}-1\\
&=(x+y-1)\left(1-\frac{1}{xy}\right)<0.\\
\end{aligned}$$综上可知，结论成立．
（法二）我们用三角函数的集合意义进行构造．设 $Z$ 是直角坐标平面 $xOy$ 内的单位圆上的一点，使得 $OZ$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta, X_1,Y_1$ 分别是 $Z$ 在 $x$ 轴，$y$ 轴上的射影，点 $X_2,Y_2$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴上，使得 $X_2Y_2$ 与单位圆相切于 $Z$．于是，$OZ=X_1Y_1=1$，并且$$X_1Z=\sin\theta, Y_1Z=\cos\theta,\\
X_2Z=\tan\theta, Y_2Z=\cot\theta,\\
OX_2=\sec\theta, OY_2=\csc\theta.$$从而，只需要证明$$0<X_2Y_2-X_1X_2-Y_1Y_2<1=X_1Y_1.$$事实上，由 $X_1X_2,Y_1Y_2$ 分别是 $ZX_2$ 在 $x$ 轴，$ZY_2$ 在 $y$ 轴上的射影，知 $X_1X_2+Y_1Y_2<ZX_2+ZY_2=X_2Y_2$，即左边不等式成立．又由三角形不等式可知，$X_1X_2+X_1Y_2+Y_1Y_2>X_2Y_2$，知右边不等式成立．故结论得证．
\sin\theta+\cot\theta-csc\theta=y+\frac{x}{y}-\frac{1}{y}=\frac{y^2+x-(x^2+y^2)}{y}>0.$$两式相加得$$\sin\theta+\cos\theta+\tan\theta+\cot\theta -\sec\theta-csc\theta >0.$$又$$\begin{aligned}
&\sin\theta+\cos\theta+\tan\theta+\cot\theta-\sec\theta-csc\theta-1\\
&=y+x+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-1\\
&=x+y+\frac{1}{xy}-\frac{x+y}{xy}-1\\
&=(x+y-1)\left(1-\frac{1}{xy}\right)<0.\\
\end{aligned}$$综上可知，结论成立．
（法二）我们用三角函数的集合意义进行构造．设 $Z$ 是直角坐标平面 $xOy$ 内的单位圆上的一点，使得 $OZ$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta, X_1,Y_1$ 分别是 $Z$ 在 $x$ 轴，$y$ 轴上的射影，点 $X_2,Y_2$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴上，使得 $X_2Y_2$ 与单位圆相切于 $Z$．于是，$OZ=X_1Y_1=1$，并且$$X_1Z=\sin\theta, Y_1Z=\cos\theta,\\
X_2Z=\tan\theta, Y_2Z=\cot\theta,\\
OX_2=\sec\theta, OY_2=\csc\theta.$$从而，只需要证明$$0<X_2Y_2-X_1X_2-Y_1Y_2<1=X_1Y_1.$$事实上，由 $X_1X_2,Y_1Y_2$ 分别是 $ZX_2$ 在 $x$ 轴，$ZY_2$ 在 $y$ 轴上的射影，知 $X_1X_2+Y_1Y_2<ZX_2+ZY_2=X_2Y_2$，即左边不等式成立．又由三角形不等式可知，$X_1X_2+X_1Y_2+Y_1Y_2>X_2Y_2$，知右边不等式成立．故结论得证．
答案
解析
备注
