已知对任意实数 $x\in[-1,1]$，都有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$．试求实数 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(x)=k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1$，则 $f(x)$ 是偶函数．只需要考虑 $x\in[0,1]$ 的情形，$f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\frac{kx-(x^2+1)\sin x}{x^2+1},$$令 $g(x)=kx-(x^2+1)\sin x$，则其导函数$$g'(x)=k-(x^2-1)\cos x-2x\sin x,$$注意到 $g'(0)=k-1$，因此，$k=1$ 为讨论的分界点．
情形1：$k\leqslant 1$，此时，$$f(x)\leqslant \ln \sqrt{x^2+1}+\cos x-1,$$记右侧函数为 $f_0(x)$，则其导函数为$$f'_0(x)=\frac{x-(x^2-1)\sin x}{x^2+1},$$而$$x-(x^2+1)\sin x<x-(x^2+1)\left(x-\frac{x^3}{6}\right)=\frac{1}{6}x^3(x^2-5)<0,$$于是，函数 $f_0(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减．从而$$f(x)\leqslant f_0(x)\leqslant f_0(0)=0.$$符合题意．
情形2：$k>1$．此时$$g'(x)>k-(x^2+1)\cdot 1-2x\cdot x=k-3x^2-1.$$因此，当 $x\in \left[0,\sqrt{\frac{k-1}{3}}\right]$ 时，有 $g'(x)>0$，此时 $f(x)$ 单调递增，有 $f(x)>f(0)=0$．不符合题意．
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
注：本题用到的不等式 $\sin x>x-\frac{x^3}{6}$（$x>0$），请自行证明．
情形1：$k\leqslant 1$，此时，$$f(x)\leqslant \ln \sqrt{x^2+1}+\cos x-1,$$记右侧函数为 $f_0(x)$，则其导函数为$$f'_0(x)=\frac{x-(x^2-1)\sin x}{x^2+1},$$而$$x-(x^2+1)\sin x<x-(x^2+1)\left(x-\frac{x^3}{6}\right)=\frac{1}{6}x^3(x^2-5)<0,$$于是，函数 $f_0(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减．从而$$f(x)\leqslant f_0(x)\leqslant f_0(0)=0.$$符合题意．
情形2：$k>1$．此时$$g'(x)>k-(x^2+1)\cdot 1-2x\cdot x=k-3x^2-1.$$因此，当 $x\in \left[0,\sqrt{\frac{k-1}{3}}\right]$ 时，有 $g'(x)>0$，此时 $f(x)$ 单调递增，有 $f(x)>f(0)=0$．不符合题意．
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．
注：本题用到的不等式 $\sin x>x-\frac{x^3}{6}$（$x>0$），请自行证明．
答案
解析
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